混沌产生的数学模型

怪咖先生

科学中有一些简单而并不平庸的典型问题，围绕它们可以叙述和掌握相当广泛的科学内容。一个例子是二体问题，从经典力学中的开普勒问题、相对论力学中的水星近日点进动，到量子力学中的氢原子和量子场论中的兰姆谱线位移，贯穿了经典和近代物理学的全部发展史。另一个例子是花粉颗粒在液体中的布朗运动，从爱因斯坦的直观处理和朗之万方程、福克—普朗克方程、到涨落耗散定理的现代表述和随机过程的连续积分表示，引出了整个物理学中的概率论描述体系。这两个例子，一属确定论，另一个则为概率论。恰好对于确定论系统中的随机性，即混沌现象，也存在着这样的代表性模型，这就是一维迭代过程。可以说，天体力学，尤其是严格求解的二体问题是确定论思想的精华和典范，概率论的发展史可以认为是对布朗运动的理解史，而一维迭代在混沌理论研究中的地位则绝对不亚于前两者。

３.１.１、一维迭代

迭代是研究非线性方程演化过程的有力工具。为了研究一个物理系统，我们可以把系统的状态用一组变量x,y,z...描述，它们都是时间t的函数，同一个系统还受某些可以调节的"控制参量"a,b,c...的影响。最简单的情景是固定一组参量，把时间变化限制成等间隔的t,t+1,t+2...，看下一个时刻的系统状态如何依赖于当前状态。在只有一个状态变量x时，这个演化过程可以由一个非线性函数描述： (3.1) 其中μ代表所有控制参量的集合。更一般些，时间跳跃的间隔（或称之为对系统进行观测的采样间隔）Δt可以不是整数，把各个时刻写成 而相应状态记为 ，其中 ，于是演化方程(3.1)成为 的迭代过程（即：一阶差分方程）。以上操作实质上是在相空间中取一个截面或者做一种时序的对应操作，这是一种简化非线性演化方程的重要方法，我们称之为取庞加莱截面（见图１）及庞加莱映象。 取庞加莱截面或做映象是研究复杂系统的重要简化手段，微分方程的解对应于一定维数空间中的连续流，由图１我们看到，由于Ｄ维离散映象至少对应Ｄ＋１维的流，因此在同样维数下，离散系统的内容总比连续系统更丰富。比如：一维流只能表达从"源"到"漏"，没有其它花样，而一维映象（即：一维迭代）则可以表现出分岔与混沌等更复杂的行为。下面，我们就将以生态学中的一个简单的虫口一维迭代模型为例，浅述一些具有普遍意义的概念及规律。 假定某种没有世代交叠的昆虫，第n代虫口数为Xn，则考虑到过渡繁殖以及个体间的竞争、传染病的蔓延等，下一代的虫口数为 (3.2) 其中 项是非线性项，它是由于食物有限等因素导致的虫口饱和造成的虫口减员，只要对(3.2)式中的参数a,b恰当定义，就可将其变换成下式 (3.3) 为了满足封闭性，还要求μ∈(0,2)， ，上式并不只是一个描述虫口变化的模型，它在建立中考虑了鼓励与抑制两种矛盾的此消彼长，反映了对立双方的动态演化过程，因而具有更普遍的意义及用途。这就需要我们从数学的角度对(3.3)式作具体细致的剖析。 通过计算机数值分析发现，(3.3)式所描述的系统在参数μ从零变大时，会出现多次突变。

（１）０〈μ〈０.７５ 在线段Ｉ=[-1,1]内任选一个初值 ，迭代过程迅速趋向一个不动点 ： (3.4) 由方程(3.4)解出两个不动点的值 实际迭代过程中得到的只有x*，这是由不动点的稳定性条件决定的。 判断一个不动点是否稳定，研究的办法是在解附近作微扰，看求解过程是收敛还是偏离开原来的解，对于不动点附近的迭代方程，可写成下式 其中 和 是迭代前后对不动点的偏离。把上式右边展开到 的线性项，得到 因为对于不动点满足x*=f(μ,x*)，有 对于稳定的不动点，εn+1的绝对值必须大于│εn│，因此我们得到不动点的稳定条件是 (3.5) Ｓ＝１是稳定边界，对应有 和 两种可能性，前者给出切分岔，后者给出倍周期分岔。 由初值X0经过迭代达到或离开不动点的过程可以作图表示。图３中画出f(x)的曲线，它和Ⅰ、Ⅲ象限分角线的交点就是不动点x*或 。稳定性条件(3.5)要求不动点处的斜率在－１到＋１之间。在图３所示的情形中（μ＝0.5），x*处的切线斜率满足(3.5)，而 处则不然。由初值X0出发的迭代过程总是离开 而趋近x*。图中用箭头标出了这个过程。 以后我们还将看到，这种离开不稳定不动点（双曲点）而趋近稳定不动点（椭圆点的运动很普遍，而且在更高维系统中，对应的运动是系统从不稳定流形向稳定流形的运动。

（２）０.７５〈μ〈１.２５ μ超过0.75后， 都成为不稳定的不动点，这时考察历次迭代结果，可以看到，经过不长的过渡阶段后，即出现两个数值交叠出现的状态： 也就是说，如果今年夏天的昆虫数目是X1*，明年夏天就是X2*，后年又是X1*...，如此重复下去，在参数(0.75,1.25)范围内，(3.3)式迭代有稳定的两点周期，我们说当μ增大到μ1＝0.75时，周期１的定常解分岔为两个周期２的定常解。如果我们定义一复合函数 可以看出，X1*和X2*都是这个函数的不动点，即 。判断这些不动点的稳定性，可以重复上面的分析，得到稳定条件 ，图４绘出了μ＝1.0时 的曲线。得到函数曲线与对角平分线的四个交点（不动点）中仅有两个是稳定的（四点中有一点在区间外）。

（３）μ〉１.２５后 上述两点周期失稳，出现稳定的四点周期Xi*,i=1,2,3,4，即当μ渐渐增大到1.25时，周期２定常解又分岔为周期４的定常解。
当μ增大到μn时，周期 的定常解分岔为n个周期的定常解......，如此下去。上述描述的过程称为倍周期分岔，当μ＝μ∞＝1.40115...处，即n→∞时，系统的周期也趋于无穷长。

（４）μ〉μ∞后 系统将进入混沌！多次迭代的结果看起来像是连续分布在一定区间内的随机数，从图２中，我们可以辨认出四类"混沌"区域，其中迭代结果分别落在 (n=3,2,1,0)个区域内。事实上，如果把μ和x的尺度放大，可以看出这里有一个混沌带的序列，由右向左逐步分裂为 （n=0,1,2...）个段落。对于一个固定的n，得到结果依次落在 个区间内，但x点在每个区间内的分布似乎又是随机的。我们称它为周期等于 的混沌带。这样我们看到在参数区间（0,μ∞）内有一个 点周期的"正"的倍周期分岔序列，而在（μ∞，２）区间内有一个"反"的周期为 的混沌带的序列。它们从两面收敛到同一个μ∞出。 从中我们还看出，混沌带并非乱成一片。混沌带中不少透明处清楚存在着多点周期，其中最明显的是μ＝1.75处开始的周期为３的窗口，它还继续分岔为周期为６，周期为１２等等。如果把μ＝1.75～1.7924一段取出来放大，可以看到周期３窗口中的每一簇都发展成像图２本身一样的分岔序列，包括倍周期的正序列和混沌带的反序列。这样的现象称为混沌的自相似现象，自相似现象是混沌的最主要特征之一，这样的现象反映出混沌图象的标度变换不变性，是具有普遍意义的特性，仔细研究单片混沌带中周期３窗口的形成过程，我们发现它与倍周期分岔形成混沌的过程有所不同。μ略小于1.75时的迭代曲线，与角平分线只交于一点Ａ，这时切线很陡，是不稳定不动点。 还有三个峰或谷已经很接近角平分线，一旦μ增加到1.75，这三个峰或谷同时与对角线相切，相切点的导数值都等于＋１，恰好达到稳定的边界。μ进一步增加，每个切点分成两个割点，但每一对中仅有一个是稳定的，总共３个。由此形成了混沌带中的周期３窗口。我们看到，这样的演化过程满足前面介绍的切分岔概念（不动点导数为＋１）。 当我们考察每个窗口开始的边界附近的情况，我们会发现，虽然运动轨道总体上是混乱的，但迭代的决大多数点集中在周期轨道开始发生的点附近。如果把迭代的值和迭代次数（即时间）画出图形，则清楚地表现出一阵混沌，一阵规则的所谓阵发（间歇）现象，如果用函数形式来表示，则可以发现，迭代在呈现周期特性时是由于它正在穿过一个很窄的通道。但一旦穿过这个通道后，就会经过大幅度的跳跃，直至迭代到另一个通道附近。混沌轨道就是对应这种不同通道之间的跳跃。 前面我们简介了一维虫口迭代（或称一维Logistic逻辑斯蒂映射）的解的演化情况，进一步研究发现，以上迭代具有极大的普适性，很多其它的非线性系统产生混沌的过程、混沌中的窗口情形、自相似结构等等都与一维迭代类似，这也是我们细致分析它的原因，这至少反映出复杂性现象中的内在规律性。

在所有物理学家中，对一维迭代普适性做出最大贡献莫过于费根鲍姆，由于他的工作，我们知道对于一大类非线性映象都严格具有前面描述的分岔和混沌结构，这就是所谓单锋映象——迭代函数仅有一个极大值，比如像虫口迭代那样。有些性质，例如周期轨道的种类和出现顺序，只决定于"单峰"的存在，称之为"结构普适性"。如果我们借用代数集合论的话来说就是"拓扑普适性"。 现在我们列举单峰映象的一部分普适性质:

（１）分岔序列的收敛速率 费根鲍姆发现发生倍周期分岔点的参数值μ是几何收敛的，即利用 定义的δn有 这个常数表明了一个系统在趋向混沌时，周期倍增的速度。对于同一个δ也适用于嵌在混沌中的窗口周期序列。如果把各个混沌带的边界，即 混沌带汇合为 混沌带的μ值定出来，它们也按δ-n收敛。

（２）标度变换因子 我们已经看到，分岔谱和混沌带具有无穷嵌套的自相似几何结构，同一行为在越来越小的尺度上重复出现，这是一种标度不变性，与其对应，也应该存在一个相应的标度变换常数因子α。费根鲍姆证明，当n→∞时，这个放缩因子也趋向一个普适常数 α＝2.502907875... 需要指出的是：一维虫口迭代所表示出的结构普适性和标度不变性是混沌现象的一种共同特性，这种"普适性"包含有两重含义：一是同样的分岔结构和定量特征出现在不同的非线性映象中；二是对于同一个映象，它们适用于不同层次的内嵌结构

3.1.2二维非线性系统

一维非线性映射都是不可逆的，只对应于耗散系统，而二维映象在许多方面起着从一维到高维的衔接作用。二维系统的混沌现象，不仅会出现在耗散系统中，而且它也可能出现在保守系统中。 对于保守系统来说，由于系统的哈密顿函数Ｈ＝常数，系统存在一个能量积分，所以一维保守系统不可能出现混沌。 二维哈密顿系统中研究较多的是所谓"标准映象" 它出现在许多自由度为２的非线性振子理论中，是带电粒子在环行磁场中运动的一种模型。 二维耗散系统中研究最多的一例是所谓埃农（Ｈénon）映射， 只要b≠0，变换就是可逆的，b＝１时，它保持相体积不变，是一种保守系统。b<１对应耗散系统，b＝０则回到一维映射。埃农等人研究发现对于某些控制参数和初值，迭代结果迅速收敛到（x,y）平面上接近一维的"吸引子"上。这个吸引子很像是平滑曲线，但它具有宽度。如果取来吸引子的一小段不断放大，可以看到越来越小的尺度上重复出现近似的自相似结构。这是第一个实际观察到的具有非整数维的"奇怪吸引子"，我们在下一节中还要重点介绍。 二维映象中在某些方面表现出了与一维线段映象不同的性质，比如：对b=1的埃农映象的研究给出的结构普适常数δ＝8.7210和标度因子α＝4.018均与一维单锋映象有所不同。但我们看到一维非线性迭代的普适特点在高维映象中仍然保持下来。

3.2奇怪吸引子与分形

保守系统由于相体积永远不变，所以不存在吸引子，而耗散系统则不然，相体积在演化过程中不断收缩，各种各样的运动在演化中逐渐衰亡，最后只剩下少数自由度决定的长时间行为，即：耗散系统的运动最终趋向维数比原始相空间低的极限集合，这个极限集合称为吸引子。

3.2.1平庸吸引子

我们来考虑常微分方程解的极限集合，即相空间某一区域的点都取作初值时，这些轨道 时的极限行为。极限集合的一些平庸情况是熟知的：零维不动点、一维极限环和二维环面等。 如果t→∞时，系统趋向一个与时间无关的定常态，即相空间中的一个特定的点，这就是不动点。不动点是零维的吸引子。一维以上的系统原则上就可能具有不动点。 如果t→∞时，系统中剩下一个周期振动，这就是一维的吸引子——极限环。只有在二维以上的相空间中，才可能出现极限环。通常极限环是由不动点发展起来的。当某个不动点在参数变变化过程中由稳定而失稳，新的稳定状态往往是围绕着原有不动点的周期运动，这个过程称为霍普夫分岔(hopf)。 由不动点到极限环的霍普夫分岔可以形象的理解如下：一个稳定的不动点附近，代表系统运动状态的流线如图８(a)所示，从四面汇聚到不动点；不稳定的不动点是流线的源，所有的流线都向外散开，如图８(b)所示。假定控制参数的微小变化，使不动点由稳定而失稳，不动点附近的局部形势就要由图８(a)变到(b)，但一般说来，参数的这种微小的变化还不足以使整个流域内"河水倒流"，距不动点较远处的流线仍应是向中央汇聚的。近处向外，远处向内，两种流向统一的办法，就是在中间出现一条封闭曲线，成为内外两套流线的共同极限，如图８（c），这就是极限环。以后我们将知道，霍普夫分岔是通向混沌的一条重要途径，类似的还有一维极限环到二维环面的霍普夫分岔。 二维环面是三维及高维耗散系统经常出现的一种吸引子。其表现为相空间中相应维数的环面。二维环面上两个运动方向的频率呈有理比例关系时，才会有周期运动，如图９；若是无理数，那么其运动可用在一个环面上移动而自身永远不封闭的螺旋线来表示，这种运动叫做准周期运动，如图10 综上所述，非线性系统可能具有0,1,2...等各种维数的平庸吸引子。高维吸引子最可能有准周期运动，而不是周期振动。然而自吕勒(Ruelle)和塔根斯(Takens)的工作以来，人们越来越清楚地看到，一般说来准周期轨道成为吸引子的可能性不大，更可能出现的是所谓奇怪吸引子。

3.2.2奇怪吸引子
奇怪吸引子是耗散系统混沌现象的另一个重要的特征。简单地说奇怪吸引子就是相空间（对连续的动力学系统，至少是三维；对离散的动力学系统，至少是二维）的一个有限的区域内，由无穷多个不稳定点集组成的一个集合体。奇怪吸引子有两个最重要的特征：

（1） 对初始条件有敏感的依赖性。 在初始时刻从这个奇怪吸引子上任何两个非常接近的点出发的两条运动轨道，最终必会以指数的形式互相分离。由于混沌对初值极为敏感，它表现为局部不稳定。但对耗散系统而言，则又具有相体积收缩的特性，因而造成轨道无穷多次折迭往返。混沌轨道在相空间中"添满"有限的区域，形成奇怪吸引子。实际上，它有内外两种趋向，一切吸引子之外的运动都向它靠拢，这是稳定的方向；而一切到达吸引子内的轨道都又相互排斥（指数式分离），对应为不稳定方向。正是这种整体趋向稳定而局部又极为不稳定的矛盾，导致了奇怪吸引子的另一个更奇怪的性质：

（2） 它具有非常奇特的拓扑结构和几何形式。 奇怪吸引子是具有无穷多层次自相似结构的、几何维数为非整数的一个集合体。为了描述奇怪吸引子的这种奇特结构，曼德尔布罗特(Mandelbrot)最早（1975年）引进了分形（既其维数是非整数的对象）的概念。维数是描述客体的重要几何参量。也可以说，维数是为了确定几何对象中一个点的位置所需的独立坐标数目。已经知道：点是零维，线是一维，平面是二维，而立方体是三维的。这种维数称为拓扑维，用字母"d"表示。 维数也可以这样来考虑：比如，取一线段，将该线段的长度乘以2，就得到另一个线段，长度为 =2个原线段长度。一正方形，每边长×2，得到一个大的正方形，它等于4个原来大小的正方形。一立方体 ，每边长×2，得到一个大的立方体，它等于8个原来大小的立方体。由此可以推得，一个d维的几何对象，它的每一个独立方向都增长L倍，结果得到N个原来的对象，这三者的关系为 ,两边取对数，得维数 。 一旦把上式的定义加以推广，我们就完成了一次概念上的飞跃，d不必一定是整数，它可以是分数，我们就把这样推广定义的维数称为分维（fractal），用字母"Ｄ0" 表示。对于规整的几何对象，可以使用统一的长度变换倍数L。而对于不规整的复杂体，如海岸线的长度，总长度与测量单位有关，为了得到精确的测量，不是把尺寸放大L倍，而是测量单位缩小为原来的ε倍，L＝１／ε，测量长度次数Ｎ随ε减小而增大，记为Ｎ（ε），这时分维定义为： 上式定义的分维称为容量维Ｄ0，又称为柯尔莫哥洛夫（Ａ.Ｎ.Kolmogorov）容量维。 可以证明，拓扑维d和分维Ｄ0满足如下关系： d≤Ｄ0 式中取等号是对普通规则几何对象而言的。容量维为非整数的典型的例子是康托集合。参见图11 考虑一闭合线段[0,1]，将其分成三等分，舍弃中段，剩下的两段再分别三等分和舍弃中段，如此继续下去，最后剩下的点的总体就是康托集合。它是一种处处稀疏的对象（自相似结构），其拓扑维d=0，现在来求它的分维Ｄ0。当ε＝1/3，N=2；当ε＝1/9，N=4；...亦即当 时，N= 。于是可得康托集合的容量维为 由此可见康托集合满足关系d≤Ｄ0 在解决实际问题时，容量维往往不能非常准确的反映不规则度，因此，又有人提出了信息维和关联维等，有关它们的具体定义及运算方法，我们在此将不做细致讨论。 奇怪吸引子的维数从一个侧面反映了说明此吸引子所必须的信息量，它是该系统中最重要和最主要的信息，对它的细致研究将有利于我们抓住问题的主要方面，更根本地分析和认识问题。

转自：http://blog.sina.com.cn/s/blog_523b1be20100gy2t.html