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发表于 2016-3-11 14:14
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对于周期运动，功率谱只在基频及其倍频处出现尖峰，准周期对应的功率谱在几个不可约的基频以及它们叠加所在频率处出现尖峰。不现带宽的噪声的自功率谱的带宽可以展示噪声的频带宽窄的特点。发生倍周期分岔时，功率谱中将出现分频及其倍频，在这些频率点上功率谱图也都具有尖峰，其中含有与周期运动对应的尖峰，这表示混沌运动轨道“访问”各个混沌带的平均周期。根据这些特点，可以很容易地识别运动的特征是周期的，还是准周期的、随机的或混沌的。
为了获得可靠的功率谱，需对若干个相继的采样序列的谱作平均，另外，在开始采样前必须等待过渡过程消逝，如果原始数据包含大量噪声与外间干扰的测量，还应当考虑适当的滤波或光滑化。
3.3.7 分形维数分析法
1975年，美国IBM公司的数学家Benoit B.Mandelbrot创造出了“分形（Fractal）”这个新术语当其标新立异之作《自然界的分形几何》一书于1982年出版之后，分形这个概念便不胫而走。称之为分形的结构一般都有内在的几何规律性，即比例自相似性。混沌学主要讨论非线性动力系统的不稳，发散的过程，但系统状态在相空间中总是收敛于一定的吸引子，这与分形的生成过程十分相象。分形也是产生于一个迭代系统的动力学行为，这表明它和混沌之间存在着一种根深蒂固的联系：分形集就是动力系统中那些有不稳定轨迹的初始点的集合，即混沌集。混沌吸引子就是分形集。我们可以通过分数维这个特征数来测定分形的不平整度、复杂度或卷积度。分数维的微不变化可以引起形状的急剧改变。分形和分维的概念对于高维系统的混沌动力学很重要，而在一维映象中用途有限。常用的分数维有Hausdorff维、自相似维、Kolomogrov容量维、信息维、关联维数以及Lyapunov维数。
3.3.8 测度熵法
1958年柯尔莫戈洛夫定义了测试熵，随后，西奈作了改进。因此，“测试熵”又称为“柯尔莫戈洛夫－西奈熵”、“KS熵”或简称“熵”。熵的数学定义要求对吸引子进行分割，并且考虑这种分割在动力学作用下的无穷细分，对细分过程中根据测度算出的信息量进行上确界估计。这种定义很难实际运用，因此，物理上更为直观的算法。我们用轨道把许多箱串起来，引用联合概率 ，即轨道在时刻 处于第1个箱中，时刻 处于第2个箱中，……在时刻 处于第 个箱中的概率。这样的联合概率原则在可以从数值实验或实际观测中求得。然后就可以通过信息量定义测度熵：
这里 是箱的尺寸。 的数值是判断运动性质的重要指标：对于规则运动， 0；对于纯随机运动， ；而混沌运动对应有限的正 值。测度熵与正的Lyapunov 指数有密切关系。对于有限维的可微分的映射,
即所有正的Lyapunov 指数之和，给出测度熵的上限。在实践中，上式中的等式往往成立，它成为所谓培律（Ya.B.Pesin）等式
历史上，测度熵的引入先于拓扑熵。拓扑熵是比测度熵更弱的混沌判据。它不考虑相空间细分过程中的测度，而只保留计数问题。如果细分中的各个“覆盖”具有相同的测度（概率），则测度熵 就回到拓扑熵 。一般情况下
0
因此正拓扑熵不能保证测度熵为正，而正测度熵一定导致正拓扑熵。用正拓扑熵定义的混沌称为“拓扑混沌”，它只意味着运动中含有不规则的成分，并不保证相应的混沌运动可以观测。然而，正拓扑熵是很容易界定的量，因而在数学文献中经常用到。物理上更可靠的定义，应当要求存在正的Lyapunov 指数或者测度熵。
由于拓扑熵中由不同轨道的计数问题决定，通常可用下式计算
其中 是长度为 的不同轨道点的数目。
另外还有其它的一些混沌分析方法，如符号动力学方法等。在实际应用时，为了获得更加精确的结果，常常不是单纯的使用上面的某一种方法，而是采用定性的分析方法，如用Lyapunov指数分析法和自功率谱密度分析法相结合的手段来研究混沌的性质。
3.3.9其它方法
描述混沌程度的方法有很多种，而且各有利弊。其中较主要的还有如确定奇怪吸引子的各种维数、确定混沌系统的所谓柯尔莫哥洛夫熵、对周期驱动系统较易实现的分频采样法以及前面介绍的取庞加莱截面的方法等等。理论分析中则大量使用泛函分析，借用相变理论中的重正化群方法。比如费根鲍姆推出的普适常数及标度因子就是解一个反映自相似结构的泛函方程形式的重正化群方程。另外，分析系统的梅尔尼科夫(Melnikov)函数也是确定混沌的一个重要方法。由于牵扯的知识点过于繁杂，本文将不得不以粗线条形式略述，具体内容请参阅有关文献。
3.4通向混沌的道路
对于一个确定的非线性动力学系统，当参数值位于某个范围时，它才表现为混沌运动，其他情况下表现为确定性运动的一种，这就有一个如何到达混沌的问题，即系统是如何从确定性运动过渡到混沌运动的。从确定性运动通向混沌的道路多种多样，至今人们知道了四条典型的通向混沌的道路：倍周期分岔、准周期分岔、间歇过渡（阵发混沌）和KAM环面破裂等，此外还会有其他可能的道路[4,5,13,14,15,16,22,23]。
3.4.1 倍周期分叉道路
这条道路是由分形理论创始人B.B.Mandelbrot和 P.Myrberg等一大批科学家共同努力而发现的。
1976年，P.Myrberg在1篇对混沌理论的研究起了很大的作用的综述性文章中指出，生态学中的一些非常简单的数学模型，具有极为复杂的动力学行为，包括分岔系列和混沌。随后，M.Feigenbaum发现了倍周期分岔中的标度性和普适常数。由于M.Feigenbaum的出色贡献，有时也称倍周期分岔为Feigenbaum道路，即从周期不断的加倍而产生混沌，其基本特点是：不动点→2周期点→4周期点→……无限倍周期凝聚（极限点）→奇怪吸引子。
例如，对一维的Logistic映射系统
1- , [0,1], [0,4]
(1)0 3时，映射有2个不动点 0,
a.当0 1时， ， 0是映射在[0,1]内的稳定不动点。
b.当1 3时， ， 是映射在[0,1]内的稳定不动点。此时，系统有周期-1解。
(2) 3 时， 0， 失稳，需要考虑二次迭代，解二次迭代方程有4个不动点。其中 是稳定的，此时系统有周期2解。如此继续下去，当 3.5699…时系统进入混沌态。图3.2的上部就是平方映射通过倍周期分岔进入混沌的分岔图。图3.4.2是从 开始计算的，平方映射的分岔现象实际是在 处开始的，从这里迭代由零值进入到单周期运动即出现了一次霍夫分岔；随后在m＝3处开始了倍周期分岔，从这里先由单周期分岔为二周期，然后在m＝3.4495处由二周期分岔为四周期，接着在3.5441处从四周期分岔为八周期，如此一直分岔下去，每次分岔运动周期增加一倍，一直到 为止。当 以后，映射迭代的终态值给出的图象是一片模糊已无周期了，说明进入了随机的混沌状态。这就是平方映射在 参数区域中进入混沌的倍周期分岔道路。为了将平方映射从规则运动进入混沌与李雅普诺夫指数 的变化联系起来，在图3-2的下部连接了平方映射的 指数随 的变化曲线。随着参数 的增长，平方映射发生一系列的倍周期分岔。然而倍周期分岔将在一临界点 =3.5699…时终止，从 开始的大部分区域，每次迭代得到的值是随机地出现的。图3.4.1是 值为3.7时的迭代情况。由图可见每次迭代计算得到的 值既不趋向于零或稳定值，也不是重复，而变为随机地出现了，因此迭代计算可以无止境的延续下去，偶然地某个迭代值会出现在先前得到过的某点附近但并没有准确相同，于是在继续迭代计算中又很快地分离开来了。说明系统已从周期运动进入到了非周期运动或称混沌运动。
实际上上一章对平方映射的计算仅取了少数几个特殊的 值，因此对平方映射通过倍周期分岔进入混沌还没有一个完整的印象，现在利用计算机编写的程序，可以由小到大逐个对 值进行计算。
由图3.4.2的上部可见，平方映射在 进入了混沌状态。进入了混沌初看似乎模糊一片，但细看可见在模糊图象的深浅程度上仍然可以区分出不同的区域，说明迭代终值 并不总是混乱一片，而是存在着一定层次；此外，在模糊区域中还可见到有一些大大小小的窗口，犹如两片乌云之间有一小片蓝天，说明这些区域仍存在规则运动。从图3-4-2下部的李雅普诺夫指数曲线上可见，当系统作规则运动（ ）时指数 始终处于负值，只在各个分岔点处上升到零值附近。而当 以后，指数 便开始转为正值，但在 以后的各个窗口中指数 值均又转为负值，因为这里仍是规则运动。由此可见平方映射随参数 值的增加展现的是一幅规则―随机―规则―随机…交织起来的丰富多彩的图象，说明混沌是一种特殊的、包含着无穷层次的运动形态。对于这种无穷层次的运动形式还可以用分形理论作进一步的分析。
图3.4.1 ＝3.7时 在不确定值之间跳跃
Figure 3.4.1 the bouncing of among the uncertain value when ＝3.7
图3.4.2 平方映射分岔与李雅普诺夫指数λ值随μ的变化
Figure 3.4.2 the bifurcation and the Lyapunov exponent λ of the square map are both variant with value μ
3.4.2 阵发（间歇）道路
图3.5 平方映射在 时产生阵了混沌现象
Figure 3.5 the square map engender intermittent chaos when
这是由法国科学家Y.Pomeau和P.Manneville于1980年提出的一条通向混沌的道路，故称为PM类间歇道路。目前阵发混沌已经有五到六种类型。
阵发混沌的类型与切分岔密切相关。阵发混沌发生于切分岔起点之前，表现在时间行为的忽而周期、忽而混沌，随机地在二者之间跳跃。当系统在某一参数R低于（或高于）某一值R0时，系统呈现规则的周期运动；而当参数逐渐增加（或减少）时，系统在长时间内仍然表现出明显的近似周期运动形式，但这种近似的周期运动形式将被短暂的突发混乱运动所打乱，突发之后又是周期运动，这种情况不断重复，显示出一阵周期、一阵混沌的阵发运动;随着R的进一步增加（或减少），突发现象出现得越来越频繁，近似的周期运动几乎完全消失，最后系统完全进入混沌状态。
3.4.3 准周期道路
20世纪40年代，D.Landau和Hopf先后独立提出了一种湍流发生机制，其基本思想是：当雷诺数Re极小时，流体处于与时间无关的层流状态，对应相空间的稳定不动点;当Re超过某临界值时，出现Hopf分岔，即出现频率为w1的振荡而使流体失稳;当Re进一步增大到另一临界值时，发生二次Hopf分岔，出现新的频率为w2的振荡，运动用相空间的二维环面来表示，通常w1/w2为无理数，这种准周期运动使流体进一步复杂;当Re进一步加大，将出现更多频率的准周期运动，最后这种极其复杂的准周期便是湍流。即湍流是无数次Hopf分岔形成的无数频率的准周期振荡的结果。然而，试验证明该湍流理论并不符合实际。
1971年，法国科学家D.Ruelle和荷兰学者F.Takens指出混沌可以看做具有无穷多个频率耦合而成的振动现象，但并不像朗道所说的那样要经过无数次分岔出出无穷多频率才出现混沌，而是只要4次甚至3次分岔即可。其特点是不动点（平衡点）→极限环（周期运动）→二维环面（准周期运动）→奇怪吸引子（混沌运动）。
3.4.4 KAM环面破裂
KAM定理指出，近Hamilton系统的分布在一些环面（称为KAM环面）上，它们一个套在另一个的外面，而两个环面之内充满着混沌区。它在法向平面上的截线称为KAM曲线。可积Hamilton系统，如单摆的相图是椭圆点和双曲点交替出现，相平面被鞍点连续分割，相空间中和各部分的运动互不相混。在不可积的情况下，只在鞍点附近发生一些变化，鞍点连续破断并在鞍点附近产生剧烈振荡。这种振荡导致等价于Smale马蹄的结构，从而引起混沌运动，相应的区域称为混沌区。
第四章 混沌学的哲学思考
哲学是自然科学、社会科学和思维科学的概括和总结。自然科学的发展对哲学发展的促进作用是有目共睹的。本世纪６０年代以后，混沌理论的兴起导致一系列在"紊乱"现象背后的惊人发现，引起人们广泛的注意。混沌不仅是个科学问题，也涉及到许多重要的哲学问题。特别是在有序和无序、稳定和非稳定、简单和复杂、局部和整体、决定论和非决定论等矛盾关系和辩证转化的条件和机制方面，给人以新的启迪。 我们看到，对混沌学的研究为人类开辟了一个新空间，很多原有的概念在此空间中将被深化，将进一步地反映出其本质。就像波和粒子的概念在量子力学中得到统一一样，在混沌领域中，原有的很多经典的概念在此也得到了统一。我们可以说混沌反映的是一种无序中的有序，它是确定论中不确定性，是整体的方向性与局部的非方向性，是在稳定与失稳中不断演化，原因非常简单，而结果又是错综复杂的一类现象。它深刻地反映了对立统一的哲学思想。 混沌学的诞生直接导致了对确定论与概率论的讨论。确定论的思想自牛顿以来就根深蒂固，过去随机性只是和不可逆联系在一起的。现在，在确定性的、可逆的牛顿方程内部，出现了内在的随机性。可见，确定性和随机性之间的界限并不是不可逾越的。确定论和概率论描述之间存在着由此及彼的桥梁，这座桥梁或许将是混沌所表现出的决定性的内在随机性。 对于一个非线性系统，我们依次改变系统的参数，可以出现从无序向有序的转变，有序程度不断增加的转变，最后出现混沌。在这一系列相变过程中，系统的有序程度不断提高，对称性不断减少，不断增加有序性是对无序的不断否定，而出现混沌是有序程度增加到了最高程度，是系统最有序的表现，也是系统呈现一种新的无序，是对有序的更否定；通过有序程度的不断增加，经过倍周期分岔达到非平衡混沌，不同于原来系统平衡态时呈现的无序的混沌，它有分数维数，有奇怪吸引子，有无穷嵌套的自相似结构，它在一个尺度上的表现的随机现象，会以同样的形式在不同尺度上重复出现。平衡态混沌与非平衡态混沌之间的相似与区别，以及它们之间通过有序程度的不断改变而发生的联系，具体形象地体现了哲学上的否定之否定的原则，使我们对这一原则有了更深刻的认识。 然而混沌这门新科学毕竟对当代哲学思想尤其是物理哲学有着不小的冲击。对以下两个问题的诠释相信不是1-2个小时可以解决的，当然也不是千八百字就能说得清楚的，在此，我仅仅提出，对它们的解决或许是建立在对混沌理论更深入、更本质的理解上的。 （1）.标度不变性对应的守恒律是什么？ 就像空间的均匀性对应着动量守恒，空间的各向同性对应着角动量守恒，时间的均匀性对应着能量守恒一样，混沌系统（尤其是保守系统）的标度不变性对应着什么守恒呢？ （2） .混沌系统的时间箭头又该如何解释？ 原来我们认为只有在保守系统才存在时间反演操作，因为与保守系统对应的描述方程是确定的，而且满足Ｔ变换守恒。现在我们发现，在保守系统出现混沌时，由于对初值的极敏感性，同宿点有无穷多个，系统演化沿 方向和沿 方向的结果将不一致，这说明在混沌系统中一个无穷小区域内，物理规律对时间的方向具有选择性，即出现了不可逆行为，这对理解宏观系统中的时间箭头问题多少有一点启发[5,10,11,12,15,16]。
第五章 混沌控制及其在保密通信中的应用
正是由于混沌广泛地存在于现实世界中，同时与其它的非线性系统相比，混沌系统属于非线性的随机系统，有着自己独有的特征，如对初始值极端敏感，功率谱连续等，促使人们去思考，混沌在现实生活中到底是有害还是有益？混沌是否可以控制？有何应用价值及发展前景？
对初值的极端敏感性又称为蝴蝶效应。它曾被认为是一种“麻烦”的性质，在过去的许多年中，人们一般相信混沌运动既是不可预报的，又是不可控制的。困此，在实践中总是希望避免混沌这个“有害”的现象，亦即在几乎所有的工程设计中都把目光放在消除系统中的任何混沌行为。
然而多年来，由于混沌的奇异特性，特别是对初始条件极其微小变化的高度敏感性及不稳定性，所谓“差之毫厘，失之千里”的缘故，使得混沌控制举步维艰，人们在生产、实验中都尽量避免混沌的出现。但在1990年，Ott、Grebogi和Yorke基于参数扰动方法，成功地实现了混沌系统的控制（OGY方法），随后Ditto、Rouseo及Spano三人从实验上验证了OGY方法的有效性。OGY方法的基本思想是假设系统有可调参数，利用混沌的“蝴蝶效应”，通过对该参数施加微小扰动并反馈给系统，实现把系统的轨道稳定在无穷多个不稳定轨道中预期的一条特定轨道上，从而达到控制混沌系统的目的。另一方面，若对混沌系统的一个可测状态变量施加扰动，同样也能达到控制的目的，如闭环变量反馈及其时滞反馈镇定不稳定周期轨道等等。再者，单纯从混沌动力学方程看，混沌系统属于一个非线性系统，只是混沌系统作为一种特殊的非线性系统，它有一些奇异的性质，而且它的控制目标比一般的非线性系统更丰富一些罢了，所以许多控制非线性系统的成功方法都可以运用到混沌控制当中来，加以改进，成为控制混沌卓有成效的方法。如自适应控制方法、棒控制方法、状态反馈方法等[19,13,14,22]。
上面谈到的混沌的控制，主要指对混沌这种复杂、“麻烦”现象的抑制。的确，混沌在许多情况下需要被抑制，然而混沌抑制只是混沌控制最容易达到的一个目标，是一种最简单的混沌控制。单单从这一点来看混沌的控制与一般非线性系统的控制并没有什么质的差别。如果混沌控制仅仅追求这样的目标，将会使得混沌吸引子中丰富的内涵变得毫无用处。
众所周知，混沌态包含有无穷多个不稳定周期轨道，这些周期轨道都是混沌系统的一个解。任给一个初始条件，系统不会运动到这些轨道上去，即系统在自身运动中实现这些周期运动的概率为零，但系统一旦处于这些轨道上，即使在没有外力的影响下，它也能在这些轨道上继续运行。又由于混沌系统各态历经的性质及系统演化状态对初值的极端敏感性，我们可以利用微小的扰动能量，控制混沌系统在众多周期轨道之间进行切换，这一点令一般的非线性系统望尘莫及，这是混沌控制的一个独特之处。将一个稳定周期系统驱动从一个周期态驱动到另外一个周期态，人们必须用足够大的外力将系统从旧态换到新态，也就要要将旧机器改造成容纳新态的新机器，这势必需要消耗足够能量或其它代价。而对于混沌态则不然，由于它本身的独特性质，利用极小的控制代价就可以在原机器的框架下实现这种转换。例如美国宇航总署（NASA）的科学家们使用非常小的残余氢燃料把一个ISEE-3/ICE飞行装置送到约8000km之外，从而实现了“第一次科学彗星的对接”。他们指出，“这一项功绩归咎于天体力学中三体问题对于微小扰动的极端敏感性，而这在非混沌系统中是不可能的，因为那种系统需要巨大的控制量才能获得巨大的功效”。
在某些情况下混沌现象不但不是避免的对象，还是我们所刻意追求的目标。这里有两种情况[13,14]：
第1种情况是混沌反控制问题。在某些情况下，系统中出现混沌现象是十分有用的，可能需要控制一个非混沌系统产生混沌。例如：实际中常常需要将多种流体实现快速混合，这时混沌态就大大的优于各种周期运动态；当粒子在固体表面上通过扩散运动实行掺杂时，强混沌的运动状态将有利于提高掺杂速度和掺杂质量，而且所需能量最小。还有强混沌态混合对于核反应中的等离子加热也重要的应用，在这个过程中，热量被注入到反应器中，当反应吕中的热对流是混沌态时，该反应将取得最好的结果。
第2种情况是混沌的保密通信问题。混沌保密通信是一种新型、高效的保密方式，主要是利用混沌系统由初值敏感性带来的不可预见性和内在随机性来隐藏信号。它在发送端将有用的信号调制到混沌系统中去，在接收端用同步的混沌信号来解调。由于混沌保密通信具有实时性强、保密性能高等优点，因此，尽管目前混沌保密通信还处于实验室阶段，但它已显示了在保密通信领域具有强大的生命力。
经过近几十年的发展，尤其是最近10年的迅猛发展，目前混沌控制及其应用研究已获得了重大的突破性进展，人们已经逐渐改变了对混沌运动的不稳定性、不可控性及不可靠性的陈见，开始逐步认识到混沌的重要作用，并开始利用混沌，应用混沌。所有这些都是一个良好的开端，对这些问题的研究，将不仅具有重大的理论价值，而且具有重要的实际应用价值。
第六章 混沌学的发展趋势及应用前景
分岔与混沌决不只是一堆有趣的数学现象，它们在自然界中有种种表现。一般说来，混沌是比有序（此处指经典意义下的有序━━对称、周期性）更为普遍的现象。混沌向我们揭示出一个形态和结构的崭新世界。它表明，在某一范围的无序是与另一个不同范围的有序完全协调的。 我们了解到，混沌学已经融入了整个科学体系中。从历史发展的角度看，在横向上，它将各个学科连接起来，抹平了由于社会分工而造成的行业鸿沟，使混沌理论具有更广泛的适用性；纵向上，它不仅进一步运用数学工具，开展深一层次的理论分析，而且，已经渐渐开始将一部分成果转化为生产力（如混沌的控制和同步等）。 如今，摆在我们面前的是一幅有序和混沌交替出现又同时并存的世界。声学混沌，光学湍流，化学反应的混沌变化，太阳系中行星的混沌轨道，地震的混沌特征，长时期天气的"蝴蝶效应"，虫口数目的混沌更迭，电子线路中的噪音输出及电力网的复杂振荡等等都无不与这门新学科相联系。探索复杂性，揭示生命现象的奥秒，混沌行为的启发将使人类自身健康状况改善，经济学学者正试图应用混沌理论来寻求商业周期中隐藏的有序性，以改善经济数据的短期预报......可谓大千世界皆混沌；混沌即进一步细分了我们的研究客体，同时又统一了我们的研究方式，混沌理论的发展必将带来新的技术革命。 同时，混沌理论的发展，必须依赖数学。分维是奇怪吸引子的重要几何特征，与之对应的分形几何近二十年来也得到了飞速发展，通过计算不同吸引子的各种维数，可以更有效、更细致地对混沌系统进行分类。 符号动力学是作为动力学系统一般理论的一个重要分支，人们将对一维映射系统符号动力学的研究推广到高维系统，使混沌系统的拓扑普适性得到了完美体现，而且这种从一维向 空间的推广，也带动了其它普适性的合理运用。 另外在理论方面，还综合了很多数学分支，如测度论、泛函分析、拓扑、分形几何等等。 在技术上，一方面实验物理学家们正在不断地扩大对混沌的研究领域，另一方面，他们正在试图驾驭混沌：他们用种种方法将系统稳定在混沌区的一个周期轨道上；他们还设法使两个混沌的系统同步化，从而实现利用混沌的保密通讯。对混沌的控制和同步的实验研究将有另文介绍，在此就不做赘述。 混沌学今后的发展方向在那里？混沌究竟是喜欢追随时髦的人的一种有趣思想，还是像它的某些支持者声称的那样，实际上是科学思想的一场革命？──只有事实才能说明一切[4,5,13,14,19,23]。
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转自：http://blog.sina.com.cn/s/blog_45689e770100x4v5.html |
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