非线性科学与混沌综述

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1.5 通向混沌的道路（摘自《混沌控制及其在保密通信中的应用》，国防工业出版社，关新平，范正华，陈彩莲，华长春著，2002年10月第1版）

对于一个确定的非线性动力学系统，当参数值位于某个范围时，它才表现为混沌运动，其他情况下表现为确定性运动的一种，这就有一个如何到达混沌的问题，即系统是如何从确定性运动过渡到混沌运动的。从确定性运动通向混沌的道路多种多样，至今人们知道了四条典型的通向混沌的道路：倍周期分岔、准周期分岔、间歇过渡（阵发混沌）和KAM环面破裂等，此外还会有其他可能的道路。
1.5.1  倍周期分叉道路
这条道路是由分形理论创始人B.B.Mandelbrot和 P.Myrberg等一大批科学家共同努力而发现的。
1976年，P.Myrberg在1篇对混沌理论的研究起了很大的作用的综述性文章中指出，生态学中的一些非常简单的数学模型，具有极为复杂的动力学行为，包括分岔系列和混沌。随后，M.Feigenbaum发现了倍周期分岔中的标度性和普适常数。由于M.Feigenbaum的出色贡献，有时也称倍周期分岔为Feigenbaum道路，即从周期不断的加倍而产生混沌，其基本特点是：不动点→2周期点→4周期点→……无限倍周期凝聚（极限点）→奇怪吸引子。
例如，对一维的Logistic映射系统
1- , [0,1], [0,4]
(1)0 3时，映射有2个不动点
0,
a.当0 1时，
， 0
是映射在[0,1]内的稳定不动点。
b.当1 3时，
  ，
是映射在[0,1]内的稳定不动点。此时，系统有周期-1解。
(2) 3 时， 0， 失稳，需要考虑二次迭代，解二次迭代方程有4个不动点。其中
是稳定的，此时系统有周期2解。如此继续下去，当 3.5699…时系统进入混沌态。图3-2的上部就是平方映射通过倍周期分岔进入混沌的分岔图。图3-2是从 开始计算的，平方映射的分岔现象实际是在 处开始的，从这里迭代由零值进入到单周期运动即出现了一次霍夫分岔；随后在m＝3处开始了倍周期分岔，从这里先由单周期分岔为二周期，然后在m＝3.4495处由二周期分岔为四周期，接着在3.5441处从四周期分岔为八周期，如此一直分岔下去，每次分岔运动周期增加一倍，一直到 为止。当 以后，映射迭代的终态值给出的图象是一片模糊已无周期了，说明进入了随机的混沌状态。这就是平方映射在 参数区域中进入混沌的倍周期分岔道路。为了将平方映射从规则运动进入混沌与李雅普诺夫指数 的变化联系起来，在图3-2的下部连接了平方映射的 指数随 的变化曲线。随着参数 的增长，平方映射发生一系列的倍周期分岔。然而倍周期分岔将在一临界点 =3.5699…时终止，从 开始的大部分区域，每次迭代得到的值是随机地出现的。图3-1是 值为3.7时的迭代情况。由图可见每次迭代计算得到的 值既不趋向于零或稳定值，也不是重复，而变为随机地出现了，因此迭代计算可以无止境的延续下去，偶然地某个迭代值会出现在先前得到过的某点附近但并没有准确相同，于是在继续迭代计算中又很快地分离开来了。说明系统已从周期运动进入到了非周期运动或称混沌运动。
转自：http://blog.sina.com.cn/s/blog_5589f8c201000amc.html