混沌模型及其时间响应

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混沌是非线性动力系统所特有的一种运动形式,广泛存在于自然界,几乎涉及到自然科学和社会科学的各个领域。自从1963 年Lorenz[1]在分析气候数据时发现第一个混沌吸引子以来,1999 年 Chen[2]利用混沌反控制方法成功实现了一个与 Lorenz 相似但不拓扑等价的新混沌系统,即Chen 系统,由此大大激发了人们对混沌生成的研究兴趣。除偶然遇到混沌系统外,可利用excel表格的基本操作(http://www.yn57.com)进行查询和实现， 有目的地产生混沌似乎有两种办法,一是Sprott 的计算机穷举搜索法,二是 Chen 的混沌反控制法。近年来,人们不断地发现新的混沌系统[2 - 7]。由于混沌系统对初值的敏感性和长时间的不可预测性,因此控制混沌就成了混沌应用的关键。在 1990 年,Ott 等[8]提出一种比较系统和严密的参数微扰方法,即OGY 方法。此后,人们相继提出了很多不同的控制方法[9 - 12]。

混沌控制的研究从理论和应用两方面得到迅速发展。本文基于混沌反控制思想,即如果使系统出现混沌,则该系统应是耗散的;系统应存在一些不稳定的平衡点,尤其存在一些鞍点;系统还要存在一些非线性乘积项,以便产生不同变量间的相互影响;系统的轨线是有界的。本文在文献[7]Liu 系统中增加了一个非线性项,构造了一个新的三维连续自治混沌系统,该系统含有四个参数,三个非线性项。通过理论推导、数值仿真、Lyapunov 指数谱和分岔图分析了改变系统参数时系统动力学行为的变化,验证了系统的混沌特性。与Lorenz,Rosslor,Chen,Lu, Liu 系统相比,新系统中的每一个方程都有非线性项,从而加剧了不同变量间的相互影响,使得它具有更复杂的分岔特性和混沌行为。而且与这些系统都不具有相同的平衡点、相同的Lyapunov 指数和维数,所以新系统与它们都不是拓扑等价的。接着将状态变量的绝对值加到该混沌系统,系统的混沌行为被控制到稳定的周期轨道,数值仿真说明了该方法的有效性和可行性。 1 新混沌系统的基本分析 1. 1 混沌模型及其时间响应本文在文献[7]Liu 系统中第一个方程中增加了一个非线性项yz,从而提出的混沌系统的动力学方程为 x. = a(y - x)+ yz y. = bx - xz z. = cx2 - { dz 选取一组典型参数a = 8,b = 18,c = 5,d = 7,初值(2,1,- 5)时,系统有混沌解,从而系统处于混沌运动状态。图1 给出了各状态变量的时间响应(去掉了暂态过程),由时间响应图可以看出系统的三个状态值无规律的在一定的范围内变化的。

因此, 由这些图也可以说明系统是混沌的。 60 70 80 90 100 (a) t-x 响应图 60 70 80 90 100 y (b) t-y 响应图 15 10 5 0 -5 -10 -15 60 70 80 90 100 z (c) t-z 响应图 20 15 10 5 0 -5 -10 -15 -20 t t t x 20 15 10 5 0 -5 -10 -15 -20 图1 系统三个状态变量的时间响应图 1. 2 对称性和不变性系统具有自然的对称性,即在变换T:(x,y,z) →( - x,- y,z)下对于所有的参数具有不变性,则此变换表明系统关于z 轴对称,其轨道在x - y 平面上的投影关于原点对称。z 轴本身也是系统的一条解轨线,即若t = 0 时有x = y = 0,则对于所有的t > 0, 仍然有x = y = 0。更进一步说,当t→∞,z 轴上的所有的解轨线都趋于原点。 1. 3 吸引子的耗散性及存在性由于系统的散度△V = ａx. ａx + ａy. ａy + ａz. ａz = -(a + d),只要a + d > 0,系统始终是耗散的,并以指数形式dV dt = e -(a + d)收敛。也就是一个初始体积为V(0) 的体积元在时刻t 时收缩为体积元V(0)e -(a + d)t。这意味着,当t→∞时,包含系统轨线的每个小体积元以指数速率-(a + d)收缩到零,所有系统的轨线最终会被在一个体积为零的极限子集上,其渐进运动将被固定在一个吸引子上,这就说明了吸引子的存在性。当取上述参数和初值时,分别画出了系统在三维空间中的相轨线图及其在不同平面上的投影,如图2 所示。从三维空间中的相图(图2(a)) 及在不同平面上的投影(图2(b ~ d))可以看出系统的混沌吸引子有很强的吸引性,具有复杂的折叠和拉伸轨线。第1 期高智中:一个新的混沌系统及其混沌控制研究107 (c) xz 平面相图(d) yz 平面相图 (b) xy 平面相图 z 100 50 0 -2500 0 -20 -20 0 20 40 y x x 15 10 5 0 -5 -10 -15 -2-020 -10 0 10 20 30 y 100 80 60 40 20 0 -20 x -20 -10 0 10 20 30 z 100 80 60 40 20 0 -20 y -20 -10 0 10 20 z (a) xyz 三维空间相图图2 系统的典型混沌吸引子 1. 4 平衡点及其稳定性令系统右端为零,得三个平衡点分别M(0,0, 0)、N(5. 020 0,1. 544 6,18)和Q( - 5. 020 0, - 1. 544 6,18)。其中,非零平衡点N,Q 对称地落在z 轴的两侧。首先分析M(0,0,0),将系统在此点进行线性化,其线性化矩阵即Jacobian 矩阵为J = - a a + z y b - z 0 - x 2cx 0 - æçç çè ö÷÷ ÷ø d = - 8 8 0 18 0 0 æçç çè ö÷÷ ÷ø 0 0 - 7 ,令det(J - λE)= 0 得其特征根为λ1 = - 7,λ2 = 8. 649 1,λ3 = - 16. 649 1,显然M(0,0,0)是一个鞍结点,不稳定。

对于平衡点N,P,由于N,P 关于z 轴对称,具有相同的稳定性,故分析其中之一即可。在平衡点 N(5. 020 0,1. 544 6,18),将系统在此点进行线性化,其线性化矩阵即Jacobian 矩阵为J = - a a + z y b - z 0 - x 2cx 0 - &#230;&#231;&#231; &#231;è &#246;÷÷ ÷&#248;d = - 8 26 1. 544 6 0 0 - 5. 02 50. &#230;&#231;&#231; &#231;è &#246;÷÷ ÷&#248; 2 0 - 7 令 de(t J - λE)= 0 得其特征根为λ1 = - 25. 732 2,λ2 = 5. 366 1 - 15. 027 6i,λ3 = 5. 366 1 + 15. 027 6i,显然N(5. 020 0,1. 544 6,18)是鞍焦点,不稳定。所以平衡点N,P 均不稳定,而且满足Shil’nikov 定理,即对于三阶自治连续系统平衡点的特征根a 及β ± γi,若满足aβ < 0,且︱ a ︱ > ︱ β ︱,新系统的矢量场满足产生混沌的鞍焦点条件。同时如果系统的参数选择适当,则可满足形成奇异鞍环的条件,因而可产生混沌振荡。 1. 5 Lyapunov 指数和Lyapunov 维数 Lyapunov 指数刻画了动力系统轨线的分离与排斥情况,表征了系统的运动特征。本文利用Wolf 方法计算出新系统在典型参数a = 8,b = 18,c = 5,d = 7 下的三个Lyapunov 指数为λ1 = 2. 808 1,λ2 = 0, λ3 = - 15. 107 0,其最大Lyapunov 指数λ1 比Liu 系统的最大Lyapunov 指数(1. 643 2)要大,说明新系统比Liu 系统混沌性更强,能够产生更复杂的混沌吸引子,动力学行为更丰富。对于新混沌系统的混沌吸引子,由于λ1 > 0,λ1 + λ2 > 0,λ1 + λ2 + λ3 < 0, 所以新混沌吸引子的Lyapunov 维数为d = 2 + λ1 + λ2 ︱ λ3 ︱ = 2. 185 9。可见,这个新系统的Lyapunov 维数是分数维数,从而验证了该系统为混沌系统。 1. 6 系统参数的影响随着系统参数的改变,系统平衡点的稳定性将会发生变化,从而系统也将处于不同的状态。系统的分岔图和Lyapunov 指数谱图都可以较直观地反映非线性动力系统随系统参数变化的动态特性。 108 南京邮电大学学报( 自然科学版) 2011 年情形1 固定参数b = 18,c = 5,d = 7,改变a,a ∈[4,8]。见图3。 5 0 -5 -10 -15 -20 λ 4 5 6 7 8 (b) Lyapunov 指数图 a 20 15 10 5 0 -5 x 4 5 6 7 8 (a) 分岔图 a 图3 a变化时关于x的分岔图及其对应的Lyapunov指数图由图3 可知系统是由倍周期分岔通向混沌的。在分岔点处对应的Lyapunov 指数等于零。从图3 可以看出当参数a 大于6. 2 时,系统进人混沌状态。当Lyapunov 指数大于零时,必将导致分岔图中的混沌区域。情形2 固定参数a = 8,c = 5,d = 7,改变b,b∈ [4,18]。见图4。 4 6 8 10 12 14 16 18 b 5 0 -5 -10 -15 -20 λ ( b) Lyapunov 指数图 (a) 分岔图 x 20 15 10 5 0 -5 4 6 8 10 12 14 16 18 b 图4 b变化时关于x的分岔图及其对应的Lyapunov指数图由图4 可知系统由倍周期分岔通向混沌后,又以四周期离开混沌,接着又进人混沌,又以三周期离开混沌,最后进范围的混沌状态。

混沌控制随着混沌控制研究的不断深人,实施控制的有效性、代价大小和难易程度,成为人们日益重视和追求的目标。本文在新混沌系统的第二个方程加上某个状态变量的绝对值,可以使混沌系统进人稳定的周期轨道。利用该方法,得到受控系统为 x. = a(y - x)+ yz y. = bx - xz - k ︱ z ︱ z. = cx2 - { dz 图5 给出了受控系统的分岔图。 k 20 15 10 5 00.5 1.0 1.5 2.0 2.5 x 图5 受控系统的分岔图最大Lyapunov 指数作为确定混沌系统的有力判据。对于此受控系统,当最大Lyapunov 指数为正时,系统处于混沌状态;当系统的最大Lyapunov 指数变为0 时,则混沌现象消失;当系统的最大Lyapunov 指数变为负值时,系统进人到周期态。由Ramasubramanian 等计算微分方程组Lyapunov 指数的方法可知,设系统的初始状态为x0 和y0,d0 = ‖y0 - x0‖,随着迭代次数的增加(或时间的演化), 直到Lyapunov 指数收敛或达到最大迭代次数n,可得到最大Lyapunov 指数λ1 = lim n→∞ 1 nΣn i = 1 ln di d0 < 0,从而系统的混沌运动得到控制。反馈项k ︱ z ︱实质是一作用明显的扰动项,它将系统参数拉出混沌区,破坏了原系统的Smale 马蹄意义下的混沌,从而得到稳定的周期解,可能是受控系统所产生的稳定周期轨道,关于这一点,作者下一步将深人研究。

图6 给出了受控系统在不同的典型控制参数下的相图,当k = 1. 4 时,控制到稳定的三周期轨道 (图6(a));当k = 1. 6 时,控制到稳定的四周期轨道 (图6(b));当k = 1. 8 时,控制到稳定的二周期轨道第1 期高智中:一个新的混沌系统及其混沌控制研究109 (图6(c));当k = 2. 3 时,控制到稳定的一周期轨道 (图6(d))。在这4 个典型控制参数下受控系统的最大Lyapunov 指数都小于零。 y x -15 -10 -5 0 5 10 y -15 -10 -5 0 5 x (c) 控制到二周期轨道(k=1.8) (d) 控制到一周期轨道(k=2.3) y 864 20 -2 -4 -6 -8 6 4 2 0 -2 -4 -6 15 10 5 0 -5 -10 -20 -15 -10 -5 0 5 10 x 864 20 -2 -4 -6 -8 y -15 -10 -5 0 5 10 x (a) 控制到三周期轨道(k=1.4) (b) 控制到四周期轨道(k=1.6) 图6 受控系统取不同k 值被控制到不同的周期轨道 3 结束语本文在Liu 系统基础上构造了一个新的三维连续自治混沌系统,用数值计算的方法研究了系统混沌形成过程,发现该系统状态随参数变化表现出丰富的动力学行为。该新混沌系统比Liu 系统的混沌性更强,可作为混沌信号源应用于混沌通信和混沌信息加密之中。然后对混沌系统增加一个状态变量的绝对值形式的非线性反馈控制器,系统的混沌行为被控制到稳定的周期轨道。该控制器结构简单, 控制代价小,且速度快,效果明显,控制结果稳定,在物理上、工程上易于实现。

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