关于非自治系统分岔图绘制的疑问

飞驰吧少年

请教各位前辈，在做非自治系统分岔图的时候，用龙格库塔ode45，其中时间间隔有如下描述：omega=[0.1:0.05:20]; period=2*pi/omega; step=period/512; tspan=[0:step:2000*period]; 这里我 有个疑问，就是那个period=2*pi/omega，这里omega是激励频率吗？那我这个时间间隔必须除以omega吗？谢谢指点一下~

mxlzhenzhu

分叉图建议不要用ODE45这种数值积分算法来计算，现在的经验是：部分软件会用ODE45积分得到一个稳定极限环，作为初值，然后带入正交配置算法，或者IHBM算法，最后用参数延续算法计算极限环分叉。参数延续算法比较有名的是伪弧长算法，伪弧长算法分为两步，Predict-Correction, Predictor-Corrector算法的例子在这里（也就是伪弧长算法）：

http://forum.vibunion.com/thread-159672-1-1.html


注：论坛里有人用数值积分获取瞬态解作为分叉图，我认为是不妥的。比如：
mddx+cdx+kx+k3*x.^3=Fa*cos(w(t)*t+theta)
w(t)=a*t+b
然后用ode45求解，得到的响应的确是“解随着参数变化的情况的图”，，但这是瞬态解，不是稳态解。我们关心的是：

mddx+cdx+kx+k3*x.^3=Fa*cos(w_k*t+theta)
w_k=[w1,w2,w3,.....wn]这种离散的稳态解，当w=w1时计算一个LC，然后用参数延续算法，计算w=w2的LC，一直计算下去；如果遇到了Fold，可能 w_k<w_(k-1)；如果遇到了新的解分支，这个时候，从w=wk开始，会有两组解或者更多组解，这就是分叉，稳定性可能不一样。（早期的时候Fold不叫分叉，现在很多学术大牛已经把Fold,Branch,Cusp都叫做分叉了）


但是用ode45计算这种，第一，这又并不违背分叉的定义；第二，和某些工程问题对应挺好，因为通常转速就是慢慢增加的，但是并不是严格意义的“用非线性的方法获取的稳态周期解的分叉图”。用Ode45, 用脚趾头想想，也太简单了吧。。。。。
注意，我说“稳态周期解”，并没有强调稳定性，稳定性的计算方法，请参考Routh-Hurwitz判据方法，以及Floquet理论。。。。

用ode45的毛病就是，不能计算得到不稳定的周期解！！！这是这个论坛，到目前为止，没人提到的！！！

mxlzhenzhu

极限环分叉有如下四类：
BPC，极限环分支，在某个参数位置，存在多解，比如孤立子。
PD，周期倍分叉，研究不多，Duffing系统周期倍分叉进入混沌，论坛以及学术上的标准例子。
Hopf分叉，这个不用说，从平衡点进入周期运动，或者从周期极限环凝聚进入平衡点，不过貌似还有人在研究如何高效和精准探测Hopf分叉。自治系统Hopf还根据稳定性，分为超临界Hopf分叉和亚临界Hopf分叉。
不变环面分叉，Torus Bifuration, 也叫做Neimark-Sacker分叉。

不是数学专业的，理论真滴很难，如果异议，请各位积极讨论，大家一起学习。