MATHEMATICA讲座(3) ----徐安农教授

grass22 · 发表于 2006-5-9 15:58

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MATHEMATICA讲座第九讲 表处理函数 　Mathematica的表处理功能非常强大，这成为Mathematica系统的一个显著特点， 在符号处理、矩阵运算等方面具有重要作用,在一般的程序设计中亦是必不可少的。 1、Table[表达式，循环描述]：按循环描述生成具有表达式所描述的性质的表； 算例： Table[i2+1，{i，1，5}] 2、(*NestList[函数f，初值x，递推次数n]：求值生成一个由n+1元素的表： 　　　　　　　　　　　　　{f（x），f（f（x）），…，f…f（x）}　*) 算例： h[x_]:=x^2; NestList[h,2,4] 3、Part[表，n]（或表[[n]]）：取出表的第n个元素； 算例： Clear[a,b,c,d,e]; ww={a,b,c,d,e}; ww[[3]] Part[ww,2] 4、Take[表，整数n]：取出表的前n个元素做成一个表， Drop[表，n]的作用正好与Take相反，是取出后表的前n个元素剩余的元素作成的一个 表； 算例： Clear[a,b,c]; Take[{1,3,5,a,b,c},4] Drop[{1,3,5,a,b,c},2] 5、Count[表，表达式]：求表达式在表的第一层出现的次数； 算例： Clear[a,b,c,d]; Count[{a,b,c,a,d,a,{a,c}},a] 6、Position[表，表达式]；找出表达式在表中出现的位置； 算例： Position[{1，b，a，{a，b}}，a]] 7、Prepend[表，表达式]：把表达式放在原表所有元素的前面； Append[表，表达式]：表达式放在原表最后 算例： Prepend[{a,b,c,s},f] Append[{a，b，c，d}，e] 8、Insert[表，表达式，整数n]：表达式插入原表第n个位置 算例： Insert[{1，2，3，4}，a，3] 9、Join[表1，表2，…]：得到一个由这n个表的元素顺序连接起来构成的表； Union[表1，表2，…]：与Join类似，只是在作为结果的表里删除了重复元素，并且 将表的元素按一种内定的次序重新排序； 算例： Join[{a,b,c},{a,b}] Union[{a，e，f}，{a，b，e，f}] 10、Reverse[表]：求出原表反序的表； 算例： Reverse[{1,2,3,4}] 11、Transpose[表]：这里的表应多于一层，求出原表第一层和第二层元素交换得的表，如果表为矩阵即得矩阵的转置； 算例： Transpose[{{1,2,3},{4,5,6}}] 12、 Deletecases[表，表达式]：删除表中与表达式相同的元素； 算例： Deletecases[{10,8,9,7},10] 13、Ｆlatten[表，n]：求出表上面n层抹平后得到的表； 算例： Flatten[ { { a，b，{c，d，{ e，f } } }，g }，2 ] 14、 Det[矩阵]：求矩阵的行列式； Inverse[矩阵]：求矩阵的逆； 算例： A={{1,2,3},{4,5,6},{7,8,8}}; Det[A] Inverse[A] 15、Intersection[表1，表2，…]：将这些表作为集合求交集； 算例： Clear[a,b,c,d,e,g]; Intersection[{a,b,c,d},{a,b,e,g},{b,c,d}] 16、Complement[表1，表2，表3，…]：求表1，表2，表3，…相对于表1的补集； 算例： Clear[a,b,c,d,e]; Complement[{a，b，c，d}，{a，c}，{a，e}] 17 Map[函数，表达式]：将函数作用到表达式的第一层的每一个元素上，得到由这样作用的结果构成的表达式； 算例： Clear[a,b,c]; Map[#Λ2& ，{a，b，c}] 18、Apply[函数，表]：把表作为函数的参数表求值得到的表达式 算例： Clear[a,b,c] ff[x_,y_,z_]:=x+y^2+z^3; Apply[ff,{a,b,c}] MATHEMATICA第十讲 程序设计初步 在这一讲里我们将介绍 Mathematica的程序设计的初步知识。 系统自身定义了几百个函数，这是MATHEMATICA之所以功能强大的缘故，很好的利用这些函数可以完成许多方面的工作，如 Fit Plot等。这里学习一个很有用的指令“？”。 在一个函数前面打？可以得到有关这个函数的说明。 例如： ?Plot 在一个字母前加？，系统给出以这个字母开头的所有函数的列表。 ?P* ??Plot 给出关于Plot的进一步的信息 函数的复合 利用系统内部函数可以构造出更多更复杂的函数。 例先求出SIN(X)的台劳展开式，再截取它的前九项。 Series[Sin[x],{x,0,9}] Normal[Series[Sin[x],{x,0,9}]] 二自定义函数 f[x_]:=表达式 如果输入的自变量是表,则用: f[x_List]:=表达式 一般地f[x_patten]:=表达式,patten表示自变量的模式,如: f[x_Integer]:=表达式,自变量应为整数. 同理f[x_,y_]:=表达式,定义二元函数. 例 f[x_]:=x^3-x+1 Plot[f[x],{x,-2,2}] Print["f(0)=",f[0]] 例定义一个画半径为r的圆的函数myPlot[r_] myPlot[r_]:=ParametricPlot[{r*Cos[t],r*Sin[t]},{t,0,2*Pi}, AspectRatio->Automatic] myPlot[1] Map[myPlot,{1,2,3,4,5}] Show[%] 三循环结构 1 While[条件，表达式] 称为当循环结构。其中“条件”是一个逻辑表达式，先对条件求值，如得到True, 则求值它的表达式部份，然后重复上述过程，直到条件不满足为止，循环结束。 例求平方小于100的最大的整数 clear[x]; x=0; While[x^2<=100,x=x+1]; Print["x=",x-1] 例用黄金分割法求方程的根 eps=10^(-6);a=-1.;b=0.; f[x_]:=x^2+2x+2; x1=b-0.618(b-a);x2=a+0.618(b-a); f1=f[x1];f2=f[x2]; While[x2-x1>eps, If[f2>f1,b=x2;x2=x1;x1=b-0.618(b-a);f2=f1;f1=f[x1], a=x1;x1=x1;x2=a+0.618(b-a);f1=f2;f2=f[x2] ] ]; Print["最优解x*=",(x1+x2)/2," 最优值f(x*)=",f[(x1+x2)/2]] 2.For[初始表达式，条件，步进表达式，表达式] 步进表达式用于对循环控制变量作步进赋值 n++表示将n的值增加一个单位; n+=2表示将n的值增加两个单位; 例求出前10个自然数的和L与前10个自然数的乘积S L=0;S=1; For[i=1,i<=10,i++, L=L+i; S=S*i; ] Print["L=",L] Print["S=",S] 例计算1+1/3+1/5+...+1/10 S=0; For[i=1,i<=10,i+=2, S=S+1/i; ] Print["S=",N[S,10]] 例求Fibonacci数列的前40项 fibonacci={1,1}; For[i=1,i<=38,i++, fibonacci=Append[fibonacci,fibonacci[]+ fibonacci[[i+1]]] ] Print["fibonacci[[40]]=",fibonacci[[40]]] 例求自然对数的底e的近似值 e=1;t=1; For[k=1,k<=10,k++, t=k*t; e=e+1/t ]; N[e,10] 3 Do[表达式，循环描述] 例将表达式t=t^2+1从t=1执行3次 Clear[t] t=1; Do[t=t^2+1,{3}] Print["t=",t] t=26 例计算翻倍 Clear[t] t=5; Do[t=2*t,{n,2,5}] Print["t=",t] 例 Clear[t] Do[Print[t^2],{t,4}] 1 例：牛顿迭代法求方程x-cos(x)=0的实根 Plot[x-Cos[x],{x,-10,10}] t=3; Do[Print[t];t=N[t-(t-Cos[t])/(1+Sin[t])],{20} ] 4 FixedPoint[函数，表达式] 将已给函数一直复合到不动点，如果存在的话。 例求证线性函数0.2*x+5无论从哪一个点出发经过多次迭代都将收敛于同一个数。 f[x_]:=0.2 x+5; FixedPoint[f,0] 5 表达式//.替换规则 例用t+1代换x^2+2*x-1之中的x直到不变为止。 Clear[t,x] x^2+2*x-1//.x->t+1 6 Nest[函数，表达式，整数n] 将表达式代入函数作用给定的次数。 例 f[x_]:=x^2; Nest[f,x^2+x+1,3] 四分枝结构 1 If [条件，表达式] 当条件为True时，求表达式的值，当条件为False时，返回Null. If[条件，表达式1，表达式2] 当条件为True时，求表达式1的值，当条件为False时，求表达式2的值。 If[条件，表达式1，表达式2,表达式3] 当条件为True时，求表达式1的值，当条件为False时，求表达式2的值, 当条件表达式求不出True或False时,以表达式3的值作为结果 例 Clear[x,y]; x=10 If[x!=Integer,y=1,y=2,y=3]; y 例 Clear[x,y]; x=0.4; If[x!=Integer,y=1,y=2,y=3]; y 例 Clear[x,y,tt]; x=tt; If[x!=Integer,y=1,y=2,y=3]; y 例观察数列的前50项 求极限 xn=Lim(1+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2) xn1=0;m=4;xn=1.; For[i=2,i<=50,i++, If[Abs[xn-xn1]>10^(-m), xn1=N[xn,10]; xn=xn+1/i^2; Print[i," ",xn1," ",xn," "] ] ] 例求100以内的素数 w={}; For[i=1,i<=100,i++, If[PrimeQ,w=Append[w,i]] ]; w Length[w] (*给出100内的素数个数*) 例构造一个函数求x以内的所有素数 Prn[x_]:=Module[{i,w={}}, For[i=1,i<=x,i++, If[PrimeQ,AppendTo[w,i]]];w ] Timing[Prn[1000]] (*其中Timing[]是显示计算的时间。*) 2 Which[条件1，表达式1，条件2，表达式2,...] 例用Which定义分段函数 f[x_]:=Which[x>0,x+1,x<0,exp[x]]; Print["f[2]=",f[2]] Print["f[-1]=",f[-1]] Print["f[0]=",f[0]] 例按分数段统计一个教学班某次考试成绩学生人数 成绩数据 76，58，84，32，91，95，94，88，78，83，82，67，63， 69，74，77，100，78，81，92，95，67，49，90，53，67， 67，87，78，94 data={76,58,84,32,91,95,94,88,78,83,82,67,63,69,74, 77,100,78,81,92,95,67,49,90,53,67,67,87,78,94}; Print["不及格人数为",Length[Select[data,#<60&]]] Print["60~69分的人数为",Length[Select[data,#>=60&&#<70&]]] Print["70~79分的人数为",Length[Select[data,#>=70&&#<80&]]] Print["80~89分的人数为",Length[Select[data,#>=80&&#<90&]]] Print["90分以上的人数为",Length[Select[data,#>90&]]] 3 Switch[判别表达式，模式1，表达式1，模式2，表达式2,...] 例构造一个函数，当x被3整除时，函数值为a，当x关于3的模为1时，函数值为b,当x 关于3的模为2时，函数值为c. h[x_]:=Switch[Mod[x,3],0,a,1,b,2,c] h[4] h[5] h[6] 五转向结构 Break[] 用于For、While（Do不能使用）语句中,表示结束包含这个break表达式 的最近循环，且以Null作为该结构的值。 Continue[] 立即结束包含这个Continue的循环,执行下一次循环。 Return 从函数的求值过程中退出(例句见十四讲) Return[] 退出函数的求值,以Null作为当前函数值 Return[expr] 退出函数的求值,以expr作为当前函数值 典型的使用结构为: While(或For)[..., ...,...; If[...,Continue[]]; ...,...; If[...,...,Break[]]; ...,... ] 例：求20至300之间不能被5整除的所有数 w={}; For[i=50,i<=300,i++, If[Mod[i,5]==0,Continue[]];w=Append[w,i]; ]; w 例求20至500之间不能被8整除的第十个数 w={}; For[i=50,i<=300,i++, If[Mod[i,8]!=0,w=Append[w,i]];If[Length[w]==10,Break[]] ]; i Goto[标志]和Lable[标志]用于在复合表达式中实现执行的控制转移. Lable[标志]是一个位置的标识，本身什么也不做。 Goto[标志]将执行立即转移到具有同一标志的Lable位置去。 典型使用方式 Module[..., ......; Lable[a]; ......; If[...,Goto[a]]; ......] 例 Goto的作用在于越过某些语句去执行指定的语句 x=1;y=3; If[y>x,Goto[aa]]; y=78; Label[aa]; y

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