分叉理论和方法

TNC

       对于含参数的系统，当参数变化并经过某些临界值时，系统的定性性态（如平衡态和或周期运动的数目和稳定性等）会发生突然变化，这种变化称为分叉</B>。
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<p><BR>        分叉是重要非线性现象，与其它非线性现象（如混沌、突变、分形、拟序结构等）紧密相关。主要研究：（a）相空间中轨线的集合；（b）控制参数空间中分叉集的性态。分叉包括两类：（a）静态分叉：讨论平衡态数目和稳定性的变化，常见有：极限点分叉（鞍结分叉）、叉形分叉、跨临界分叉、滞后分叉、孤立点分叉等；（b）动态分叉：讨论系统在相空间中轨线拓扑结构的变化，常见有：Hopf分叉、次谐和超谐分叉、概（准）周期分叉（不变环面分叉）、同异宿轨线分叉等。
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<p><BR>        分叉问题起源于力学失稳现象的研究。18世纪中叶，D.Bernoulli和L.Euler等人研究了杆件在纵向压力下的屈曲问题。1834年C.G.J.Jacobi在研究自引力介质的椭球形旋转液体星的平衡图形时，首次引进“分叉”术语。1885年，Poincare提出旋转液体星平衡图形演化过程的分叉理论。1883年，O.Reynods发现在临界雷诺数时层流转变为湍流的现象，从此开创了流动稳定性的研究。
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<p><BR>        本世纪20年代，van der Pol 和安德罗诺夫等在非线性振动研究中即已发现大量分叉现象。本世纪70年代形成分叉的数学理论和方法。
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<p><BR>        分叉揭示系统不同运动状态之间的联系和转化，且与失稳和混沌密切相关，是非线性动力学重要组成部分。主要应用于：非线性振动、结构力学、流体力学、非线性波、飞行器动力学、机器人动力学、化学动力学、控制、非线性电学、非线性光学、生态学、经济学、交通动力学、转子动力学等等。主要研究方法有：
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<p><BR>(1)       </B>奇异性方法</B>
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<p><BR>奇异性研究可微映射的退化性和分类，首先将分叉问题化为较简单的GS范式进行识别和分类，再通过“普适开折”得到一般扰动下可能出现的所有分叉性态，随后讨论分叉图的保持性和转迁集等。可以处理：静态分叉、Hopf分叉和退化Hopf分叉。
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<p><BR>对于高维问题，理论上可借助LS约化方法降维，然后再应用奇异性方法。该方法思想及经典作品参考：
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<p><BR>(a)  Arnold V I. Bifurcation and Singularitics in Mathematics and Mechanics. Proc. of the 17th IUTAM, 1988
<p></I>
<p><BR>又见：Arnold V I. 数学和力学中的分叉和奇异性. 力学进展，1989, 19(2):59-66
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<p><BR>(b)  Golubitsky M and Schaeffer D G. Singularitics and Groups in Bifurcation Theory. Vol.1, Springer-Verlag, 1985
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<p><BR>(2)       </B>Poincar-Birkhoff</B>规范形方法</B>
<p></B>
<p><BR>如何求PB规范形方法：矩阵表示法、共轭算子法、李代数法、共振法等。对于高维系统需要应用计算机代数、定理机器证明等工具。
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<p><BR>如何确定规范形与原方程系数关系：直接比较法、计算机代数方法等（目前无其它更好方法）。思想及经典作品参考：
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<p><BR>(a)  Arnold V I. Geometrical Methods in the Theory of ODE. Springer-Verlag, 1983
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<p><BR>(b)  Wang D. An introduction to the Normal Form theory of ODE. Advances In Mathematics, 1990, 30:38-71
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<p><BR>(c)  Guckernheimer J and Holmes P. Nonlinear Oscillators, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields. Springer-verlag, 1983
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<p><BR>(3)     </B>幂级数法</B>
<p></B>
<p><BR>        通过解的渐进展开，利用投影关系和Fredholm择一性进行分叉分析。可应用于：静态分叉、Hopf分叉、次谐分叉和概周期分叉领域。参考：
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<p><BR>(a)  Ioos G and Joseph D D. Elementary stability and Bifurcation Theory (2nd ed.). Springer-Verlag, 1999
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<p><BR>(4)     </B>摄动法</B>
<p></B>
<p><BR>        包括：平均法、多尺度法、KBM法、内谐波平衡法等，应用于：周期或概周期领域。
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<p><BR>(5)     </B>次谐</B>Melnikov</B>方法</B>
<p></B>
<p><BR>        研究二维扰动Hamilton系统的m/n</I>阶次谐周期分叉。
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<p><BR>(6)     </B>后继函数法和</B>Shilnikov</B>法</B>
<p></B>
<p><BR>        研究二维和高维系统的同宿分叉问题，此外还有隐函数定理、变分方法和拓扑度方法。见：
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<p><BR>(a) Wiggins S. Global Bifurcation and Chaos: Analytical Methods. Springer-Verlag, 1988
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<p><BR>(7)     </B>数值方法</B>
<p></B>
<p><BR>        除摄动方法外，都属于定性研究。数值方法和模拟方法进行定量研究，特别是在确定分叉点位置、追踪分叉解等方面，数值方法是必要的。见：
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<p><BR>(a)   Kubicek M and Marker M. Computational Methods in Bifurcation Theory and Dissipative Structures. Springer-Verlag, 1983
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<p><BR>(b)  蔡大用，白峰杉. 现代科学计算. 北京：科学出版社，2000
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<p><BR>(8)     </B>群论方法</B>
<p></B>
<p><BR>        研究对称分叉问题。
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<P>——金栋平教授，《非线性动力学》课程讲义</P>

pengweicai

<br>  能把  金栋平教授的《非线性动力学》课程讲义发上来吗？<br>    Email:pweicai@yahoo.com.cn

[此贴子已经被作者于2005-9-16 19:03:34编辑过]

christy

<DIV class=quote><B>以下是引用<I>pengweicai</I>在2005-9-16 18:58:12的发言：</B><BR><BR>  能把  金栋平教授的《非线性动力学》课程讲义发上来吗？<BR>    Email:pweicai@yahoo.com.cn<BR></DIV>
<P>金栋平教授的讲义好像一直没有发表</P>

charminggu

受教啦
要是有全部的讲义就好啦

空山长风

1) 奇异性方法
该类方法处理简单的自治系统问题尚可，对于复杂系统，该方法几乎不可行，LS方法看似可以降维，但是对于很多系统来讲降维以后会丢失一些信息，得到的结果不能完全反应原系统的特性，大多数时候参数不能和原系统对应。且对于高维系统（四维以上）采用LS方法几乎是不可行的
(2) Poincar-Birkhoff规范形方法
规范形也是处理局部问题，存在分岔参数和原系统对应不上的问题，基本上处理的问题都是带零特征根的，且补上开折参数以后，局部问题会增加原系统的一些不存在的解。高维系统求规范形无异于是灾难（两维三维的问题不是所指的高维）


(4) 摄动法
近似解处理一些问题还是很好用的，尤其是对于非线性振动问题来讲，缺点是求出分岔方程以后，由于方程次数很高，只能是对于特定的数值画几个幅频曲线或其他的参数曲线，对于简单的问题可以结合奇异性理论分析。处理高维共振问题时，分析的曲线和实际的数值分析相差有点大。
(5) 次谐Melnikov方法和同宿轨（异宿轨）Melnikov方法
HOLMS和Wiggins将该方法做了引申，拓展到高维系统，尤其是Wiggins的全局摄动法和能量相位法，将该类方法推到高潮。缺点，只能证明存在什么样的亚谐共振，几乎给画不出曲线，椭圆函数积分比较困难，能积分出来的方程几乎都做的差不多了，Melnikov方法判断同宿轨（异宿轨）产生的混沌是特例，在频率几乎趋近于零的时候才能数值模拟得到。The main advantages of both methods cover:
1 possibility of obtaining analytical results;
2 possibility of applying the method in dynamical systems characterized by arbitrary but integrable characteristics (including discontinuities with occur in a finite number of points like e.g. friction characteristics);
3 high efficiency of the verification of numerically generated results;
4 possibility of examination of strongly nonlinear systems
Both mentioned methods are not ideal, since they exhibit the following drawbacks:
(1)        they are applicable to systems characterized by a specific phase-portrait, namely homoclinic orbits of a critical saddle point;
(2)        they are not exact but approximative methods witch use a small parameter
(3)        non-perturbed system should be integrable;
(4)        they enable prediction of values of values of the parameters associated only with the so-called homoclinic and chaos;
(5)        they are associated with rather complicated algebraic computations



(6) 后继函数法和Shilnikov法
建立后继函数比较困难，Shilnikov法和melnikov方法类似，也是特殊的问题

变分方法和拓扑度方法。
此类方法比较难实现，而且通过该方法能够分析出的解，用普通的方法也能得到，做这方向研究的人不多，基本上均是纯数学领域在做。




(7) 数值方法


除摄动方法外，都属于定性研究。数值方法和模拟方法进行定量研究，特别是在确定分叉点位置、追踪分叉解等方面，数值方法是必要的。
数值方法如果没有定性分析做指导，很难将所有的方程特性模拟出来，尤其是对于一些多周期解分岔问题来讲，有的时候是丢解的，需要做大量的计算才能最终确定结果。

(8) 群论方法


基本上是处理低维自治系统问题，低维非自治系统需要结合一些近似解析方法做，目前也是数学专业的在做。