关于分岔通向混沌道路的一点疑问

kangarooli

由分岔通向混沌的道路除了

• 倍周期分岔道路
• 阵发道路
• 准周期道路
• KAM环面破裂道路
  

这四种外有没有其他通向混沌的道路呢，或者有没有其他更复杂的混沌道路，下面是我画的分岔图1，可是我看不出它属于上述哪种道路，各位高人给看看，指点下，谢谢。这个系统最后可以确定是出现了混沌，因为出现了相应的混沌吸引子2

hsfy919

回复 1 # kangarooli 的帖子

只从分叉图上来看，不太好说是什么通向混沌的。但就这个分叉图来说，参数从大到小似乎经历了倍周期分叉到混沌，并在刚出现混沌时（f=8.2左右）包含有明显的周期解。
另外，我一直有个想法，不知道怎么解释。就是在最大LE图上来看系统从周期解（LE<0）到混沌解（LE>0）中必然会经历LE=0的点，那是不是意味着从非混沌通向混沌一定会出现准周期（LE=0）解？

kangarooli

回复 2 # hsfy919 的帖子

应该是这样吧，因为LE=0的点必是分岔点，而通向混沌肯定经过了某种分岔，个人愚见，以下是一文献原文

lyapunov指数经过零的情形有四种 在跨临界分岔点，由负值接近零再变为负值 ；在倍周期分岔点， 由负值接近零再变为负值； 在切分岔处 ，由正值接近零再变为负值 ；在倍周期分岔序列的极限点 ，由负值接近零再变为正值； 因此lyapunov指数为零的点必为分叉点

kangarooli

LE指数谱

从最后看像是由2周期经hopf分岔进入了混沌，因为出现了2周期吸引不变圈，刚出现混沌是发生在8.47左右，从指数谱看再大一点好像还有一小段，可是在8.6到10.8之间感觉很复杂，而且指数接近0，其中出现了5、2和概周期，5周期是从10.8往下那一块，之后出现过2周期与概周期的交替，不知道解释成阵发性进入混沌可不可以，还请指点

kangarooli

还有个问题，就是我现在是选的外力f做分岔参数，由上面的分岔图看是随着f在5到12内发生了逆向分岔并通向了混沌，请问这样是不是说不通啊，一般感觉应该是随着f增大才会出现各种分岔和混沌啊，外力小一点才容易稳定，个人理解，不知道对不对

kangarooli

各位给指点下这分岔图，不典型，感觉有点复杂

kangarooli

就上面问题今天说明一下，经与高人交流，上面的情况是可能出现的，分岔图应该没问题，至于看不出通向混沌的道路，可能是分岔图做的不够好，正在改进中，有什么新的进展再发上来请大家讨论

雨人

回复 5 # kangarooli 的帖子

    LZ的分岔图和LE指数相对应，做的挺好的，但是为什么没有说明一下你系统的性质呢，做分岔的时候，是仅改变了外界激励的幅值，激励的频率保持不变，来看系统响应特性对吧。LZ结合LE图给出了混沌吸引子的结论，感觉很有说服力，但是出先了混沌吸引子，系统的相图应该很有规律，方便的话，可以拿出来看看。
个人有一点看法，不对的还希望大家指正！
1、分岔图效果做的好不好，感觉还是取决于庞加莱截面怎么做的，LZ截面是怎么做的？
2、群里面也经常出现奇怪的分岔图，到底是属于那种路径通向混沌的，是不是只有LZ列出来的4种通向混沌之路，个人感觉随着非线性科学的进展以后可能就明朗了，还是请路过的高手给出合理的解释吧！
3、系统是否出现混沌，稳定性发生变化和激励幅值的大小应该没有直接的关系吧，刘秉正先生《非线性动力学》混沌一节中指出，两个耦合的系统，只有两系统强弱不相上下时，两系统相互影响强烈，运动才变的十分复杂，才有可能产生混沌运动，当两个系统其中之一强到支配地位，可以使得两个系统看成独立的系统时，系统将处于锁频（周期运动）的形态。
你改变的施加的外部激励，当大道一定程度时，外部激励就处于支配地位，运动完全有外部激励所决定，所以运动形态反而简单。
个人愚见，还请高手路过释疑！

kangarooli

回复 8 # 雨人 的帖子

你说的这个外部激励大到一定程度后会处于支配地位这种情况我在群里也听人说起，现在这个问题基本解决，我现在画分岔图是用最大值法和频闪法，上面的图是频闪法做出来的，最大值法也差不多，都是8到11之间看着不明显，看不出是什么走向，不知你说的截面法是怎么做的，有没有相关的例子学习下呢，你说的相图是指出现混沌吸引子时刻的相图吧，如下

hsfy919

回复 9 # kangarooli 的帖子

关于截面法做分叉图论坛上已经有了很多讨论
可以参见http://forum.vibunion.com/thread-60104-1-1.html

kangarooli

回复 10 # hsfy919 的帖子

这个我看过，它是关于自治系统的，里面提到“非自治系统的Poincare截面则是根据系统激励的频率进行取点并绘图”，这个应该跟自治系统直接取一平面是不同的吧，不知道怎么选取呢

yanzi

分岔参数f的区间是不是可以减少一点，再多消除些瞬态，可能会更好些

kangarooli

回复 12 # yanzi 的帖子

嗯，不过怎么也得取到出现单周期啊，至于多消除些瞬态我现在正在试验，感觉还是不怎么好，随着精度的加大，运行时间越来越慢了，等有结果了再跟大家分享

hsfy919

回复 11 # kangarooli 的帖子

非自治系统可以用闪频法等，当然也可把非自治系统变为自治系统（增加一个自由度），然后用截面法

雨人

    截面法对于自治非自治系统，应该都可以吧
    庞加莱截面上的点，是反映系统运动形态的。既然这样，你在系统稳定运行后，在吸引子上取个截面，维数自己可以确定，一般3维，比如（F(x,y,z)=ax+by+cz+d;）,由于仿真输出的是系统运动轨线的时间序列，系统在某一时刻的状态在该3维空间中，要么在平面上方，要么在下方，要么正好在平面上，这样就可以通过插值或者找到正好在平面上的点，通过平面上的点的性质(个数等)来推断系统的运动形态了。
    对于非自治系统，如果不考虑时间维度，那么系统的归宿一定也是相空间中一个确定的区域，如果考虑了时间，那么相图就是随时间延伸的。在系统形态上，可以通过截面上的点在非时间维度上的投影来看系统的形态。
    个人感觉截面法不好的地方，就是确定界面的方向和位置(a,b,c,d)，只能通过相图来估计一下吸引子，然后在做截面。
    以上属个人观点，不对的地方还请大家指正！