带积分及变参数方程如何解?

ChaChing · 发表于 2011-4-15 09:01

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本帖最后由 ChaChing 于 2011-4-15 09:05 编辑

题目如附图

昨搜了下各matlab论坛, 也看了help并试了下! 可能数学基础很差, 就是没结果!
请各位帮忙下或给个提示, thks

bainhome · 发表于 2011-4-15 10:27

先做一下简单变换？不知道是不是这个意思：

其他的做法在ode中估计不会很难，就是含参数的常微分方程求解，匿名函数+arrayfun或者循环估计可以搞定。

sunhu2003 · 发表于 2011-4-15 10:43

回复 2 # bainhome 的帖子

楼上，首先应该是“两边微分”。

其次两边微分过后的方程的根怎么能跟原来的一样呢？
比如：a*x^2+b*x=c，其中x为未知数
两边微分，2*a*x+b=0
显然这两个式子的根是不一样的呀

meiyongyuandeze · 发表于 2011-4-15 10:49

本帖最后由 meiyongyuandeze 于 2011-4-15 11:06 编辑

bainhome 的做法基本是正解，不过应该是对方程的两边同时对t求微分！但需要注意的是对两边求导后是将原方程转为特定初值的初值问题，所以应该补充初值，这样才能确定解，所以方程最终可以等价于如下初值为题：

ChaChing · 发表于 2011-4-15 11:08

回复 2 # bainhome 的帖子

汗, 这个思路昨天也有试过!
太久没动手了, 竟忽略了一个小地方的替代!
谢谢! 早知道直接问就好, 浪费不少精力

meiyongyuandeze · 发表于 2011-4-15 11:11

本帖最后由 meiyongyuandeze 于 2011-4-15 11:57 编辑

回复 1 # ChaChing 的帖子

方程做变换后还需要添加特定的初值y（0）=0，否则得出的解将会是一族满足化简后方程的解，而不是原方程的解！

ChaChing · 发表于 2011-4-15 11:28

回复 6 # meiyongyuandeze 的帖子

的确如此!
忘了一乾二净, 逼我昨google/百度/wiki看了不少基本资料

谢谢楼上几位牛人的帮助

bainhome · 发表于 2011-4-15 11:33

本帖最后由 bainhome 于 2011-4-15 11:40 编辑

是微分，口误。
另外，补个初值帖子发完后就想到，但实在懒得编辑，这儿又不是在改作业，这样的小问题chaqing兄没理由不会，大方向把握住就ok，所以没写。
既然振动不让删贴，那就再补充一句：这好像是带延迟环节的微分方程，个人理论水平有限，但记得经典控制论中似乎多数时域问题都是零初值条件。这个题目好像什么教材里的习题，貌似不像特例，估计不会很复杂。

meiyongyuandeze · 发表于 2011-4-15 12:00

“带延迟环节的微分方程”，找本控制论的书来看看，扩宽下自己的知识面，呵呵！

sunhu2003 · 发表于 2011-4-15 14:20

楼上几位都是牛人，我才是不懂了。高等数学没学好？或是没学过控制论？
你们这解法哪些书上有涉及呀？俺补补去

meiyongyuandeze · 发表于 2011-4-15 14:31

本帖最后由 meiyongyuandeze 于 2011-4-15 14:32 编辑

微分方程解法及定性理论的一些教程，其中有一类是如题的积分方程。但控制论方面的知识我没学过，刚去图书馆借了本控制论的书在恶补！

bainhome · 发表于 2011-4-15 15:18

查了一下拉氏变换、卷积定理证明等内容，所指延时环节exp(...)应出现在复域内，因此前面关于时延部分的猜测我概念混淆记乱了，诸位可以无视，sorry.
附一个拉氏变换得到的解析解，供参考：

应该是个普通的方程

meiyongyuandeze · 发表于 2011-4-15 17:43

本帖最后由 meiyongyuandeze 于 2011-4-15 18:55 编辑

用MATLAB 试下求解了下，呵呵，就当练习了！

>> syms t k y;
>> y=dsolve('Dy+(k-1)*y=exp(t)')
y =
exp(-(k-1)*t)*C1+exp(t)/k

复制代码

其中exp(-(k-1)*t)*C1为通解，exp(t)/k为特解，考虑初始条件的话C1=-1/k，y=-exp(-(k-1)*t)/k+exp(t)/k。

正是楼上的解，感觉还是拉氏变换要来的简单的多啊，还是需要把以前学的积分变换好好复习下！

rocwoods · 发表于 2011-4-16 23:06

刚休假回来，看到Chaching老兄给我发的邀请讨论链接就进来了。这个应该是第二类Volterra积分方程，我那本书里109页有讨论。我也没学过控制，只是从数学角度，参考一些理论书籍给了MATLAB求解这类方程的数值程序。

ChaChing · 发表于 2011-4-17 00:34

回复 14 # rocwoods 的帖子

这是帮年轻同事的小弟问的! 大约只知是工程数学的作业, 但原始什麼问题真不知道!
虽学过基础控制但太久远了, 更不了解了
刚有大约翻下p109, 还真是没看到这, 有空在细看! 谢谢

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