老师，我有个振动问题要问！

zgdy_1

    1.在求状态空间形式的系统矩阵的特征值和特征向量的时候，发现：特征向量都是复的，这意味着什么？
    2 怎么利用这种复模态画出此时的结构振动模态？
    请老师解答，我脑子笨，希望老师多费口舌，不吝赐教！

meiyongyuandeze

假设你在求特征时候设的特征根的形式是：iwt，求出来的应该是w=a+ib和w=a-ib一对根，那么可以认为a表示的是振动解的振幅的衰减情况，a大于0表示振幅在不断增大，而a小于0表示的是振幅在减小，对应a等于零则为临界情况，也是稳定性中临界点。对应虚部b则为系统的振动频率。

zgdy_1

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谢谢，但我问的问题是特征向量的问题、、、

meiyongyuandeze

zgdy_1 发表于 2011-4-15 12:07

                               
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回复 2 # meiyongyuandeze 的帖子

谢谢，但我问的问题是特征向量的问题、、、

实在抱歉啊，没看清你的问题，不好意思！我研究稳定性问题主要研究的是特征值问题！

zgdy_1

没人解释的话，我就要离开了、、、

553535912

回复 4 # meiyongyuandeze 的帖子

你好，你说的这个方法是线性运动微分方程的稳定性判断方法，请问非线性运动微分方程的稳定性如何判断？非线性方程不能求出特征值和特征向量的

meiyongyuandeze

回复 6 # 553535912 的帖子

首先要找出线性系统的临界点，然后再根据非线性项来判定临界点的稳定性，一般来说是这样的！建议 你看下关于微分方程的书，推荐一本书《微分方程的几何理论与分支问题》！

553535912

回复 7 # meiyongyuandeze 的帖子

我前几天向郑水英老师请教，她告诉我，可以先求出非线性运动微分方程的稳态解，然后给予一个瞬态的力或者位移或者速度，看看是否收敛。
恩，线性系统的临界点好找，“根据非线性项来判定临界点的稳定性”能说的再具体点吗？刚接触非线性稳定性问题，请赐教，谢谢

meiyongyuandeze

回复 8 # 553535912 的帖子

关于在稳态解上施加扰动来判断的方法只是一种方法，但这种方法不是非线性理论中学习的方法，这种方法不能从理论上分析，适合在工程中判定吧！
关于如何根据非线性项来判定稳定形的问题，确实不是一句话能说清楚的，不过可以肯定的是不同的线性系统特征值失稳形式是不同的，很复杂，而不同的失稳形式再加上数学上对非线性项的处理结合在一起才能判定：线性系统经过临界情况后在非线性项作用下的稳定性。个人水平的确有限，加之非线性本省就是比较偏重于数学理论的，很难用几句话概括，多看书自然而然就明白了！
实在抱歉！

zgdy_1

你们把我的板块怎么用来讨论你们的问题了。。。
汗、、、
请高手解释我的问题哦，不然我要退坛了、、、

VibrationMaster

回复 10 # zgdy_1 的帖子

振型向量(或特征向量)的复程度一般很小,也就是虽然数据是复,但你用绝对值最大那个分量把整个振型除一下,那么得到新向量的虚部很小,可以直接扔掉. 如果确实不是很小,那么需要在三维空间来画,一个轴为变量序号,另外两个轴分别为实部和虚部;

553535912

回复 9 # meiyongyuandeze 的帖子

好的，谢谢您详细的解答:handshake

zgdy_1

回复 11 # VibrationMaster 的帖子

首先谢谢您的答复！
"复程度一般很小"，这样说的依据是什么？我的研究方向是有关气动弹性的。
我的认识是：
纯固体结构的特征值一般是实的；
当有结构阻尼时，会产生复根和复特征向量，这时可能"复程度一般很小"；
当以整个气动弹性系统作为研究对象时，特征值一般都是复的，复的程度我认为与气动阻尼有直接关系。
我感谢您的答复，我仍然迷惑中，希望大家帮帮我、、、
我先附上这几天的琢磨的一些想法。
一般在模态空间中，通过模态的叠加得到真实的结构振动情况，即∑ξeit，其中ξ是特征矢量，i是特征值，t是时间。
一般在特征值是复数时，其实部表示阻尼，虚部表示振动频率，特征值的根轨迹图用来判断运动的稳定性，具体一般动力学书上都有。当特征矢量是是实数时，表示不同计算点处的振幅之比。

那么特征矢量是复数时，具体振动按照特征值虚部频率进行，我们将i写为σ+jω吧。那么其对应的振动形式是ξe(σ+jω)t，经欧拉变化后得到ξeσt(cos(ωt)+jsin(ωt))，可进一步化为ξeσtsin(ωt+jφ )，（这里如按照高中数学tanφ=j/(1+j2),这明显没有意义啊 ）可以明显看出，其作正弦运动，根据σ的正负判断运动的发散与否。当特征矢量ξ是实数时，各个位置点作同一正弦运动（频率相同），只是初相位jφ以及他们的振幅ξeσt不同而已。当ξ是复数时，和实数时类似，但他们的振幅之比变为了复数，这真难理解！到这，我都不知道了，希望高手能帮我想下去！
注意：e后面的it和σt都是它的指数项，由于显示问题，看上去不是那么回事！

zgdy_1

回复 11 # VibrationMaster 的帖子

再回头看看您的答复，再次感谢您！
但我还有一点不明白，您说的变量序号是什么？我们一般画实际结构的振型，本来就是在三位空间啊 !您说的是画ξeit的实部和虚部吧！外加的轴指的是时间轴吧，这样是可以画，但它只是画出了数学的信息，不能反应实际结构的振动情况啊！

Rainyboy

回复 13 # zgdy_1 的帖子

复特征向量，即“振幅之比是复数”，说明在自由振动下各点不是同时达到各自的振动峰值呗，为什么各点不是同时达到各自的振动峰值呢（即各点的振动为什么不同步呢）？因为将按照“同步振动”假设的振型表达式带入有阻尼系统的振动方程中不成立，以无阻尼情形下得到的实数振型矩阵为坐标变换矩阵也无法对（非瑞丽阻尼的）有阻尼系统进行解耦合。