系统稳定性和相图

雨人 · 发表于 2011-4-12 09:36

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大家好！
形如：Dx=f(x,u),的状态方程，在特定参数u(分岔参数??)时，
一、进行稳定性分析的目的是什么？
   1、是主要考察系统在该参数下是属于渐进稳定、周期稳定？
   2、考察系统的运动特性是收敛于特定的相点还是特定的极限环？
二、用于稳定性分析的方法有哪些？
   1、使用Lyapunov稳定性定理，构造Lyapunov函数？此时还可以估计吸引域？
   2、使用最大Lyapunov指数，判定系统是否发散？
   3、使用f(x)=A*x，通过计算矩阵A的特征值来判定系统稳定性，和Lyapunov方法有什么却别？
三、如果说稳定性分析，是用于定性的考察系统的最终动力学行为的话，是否可以通过数值仿真，从相图，吸引子的角度推断系统的稳定性？这样的做法是否合理？

由于对定义理解可能不准确，一些概念或者说法可能不对，还需要您的指正！
期待您的回复

meiyongyuandeze · 发表于 2011-4-12 11:12

回复 1 # 雨人的帖子

说点我自己的认识哈，不一定对，仅供交流！
进行稳定性的目的，主要是考察的是随着参数的变化系统的平衡点及周期轨道是否能保持稳定，即在既有的小扰动的作用下，这些平衡态会不会发生变化。通过稳定性分析可以将平衡态附近的相轨线的“归宿”给出定量的分析。
对以判定平衡点的稳定我常用的是中心流行降维方法，用该方法可以进行理论上的分析。而计算LE也是常用的一个指标吧，使用LE是判定计算给定初值的轨线的运动形态，混沌及周期运动，不知道你说的发散是指什么。对以f(x)=A*x计算特征值，和我说的中心流行方法是一样的，可以通过判定特征值的变化而确定平衡点稳定性。当然对与周期解可以采用一些映射，将周期轨道转化为不动点，进而可以采用上述方法进行判定。
上述的这些理论分析仅是对维数较低的非线性系统而言的，对于高维非线性是不易操作性的，主要采用的是数值模拟，判定运动形态就要用LE，功率谱及一些映射图了！
个人的一点想法，希望得到指正！

meiyongyuandeze · 发表于 2011-4-12 14:58

回复 2 # meiyongyuandeze 的帖子

客气了，算不上什么指导，都是一样的学习！

雨人 · 发表于 2011-4-12 15:10

回复 2 # meiyongyuandeze 的帖子

很感谢meiyongyuandeze先生的指导！
我还是有些疑问，还希望meiyongyuandeze的持续关注：
1、通过稳定性分析可以将平衡态附近的相轨线的“归宿”给出定量的分析。这里定量的分析能说的具体点吗？如果使用数值方法，获得该平衡点附近的速度场，可以得到平衡点的类型，类似节点、鞍点等，那么是否可以直观的判定该系统在此平衡点附近的运动特性？

2、中心流形的意义，我不是很清楚。是否可以认为：对某一个平衡点，在该平衡点的一个邻域内，可以认为系统线性化后，中心子空间中的运动特性和原系统在该邻域内的运动行为拓扑等价，因此可以使用系统在中心子空间内的行为反映原系统的运动特性？
3、对一个动力系统，仅仅考察在平衡点附近的中心流形上的运动特性，就可以反映系统在平衡点附近的运动特性？这样理解是否有问题？
4、系统的高维、低微是指系统相空间的维数吗？对以弹簧阵子是否理解为在相空间中有两个维度？高维非线性难于操作，一般是指系统的自由度多，比如大于2，相空间中维数大于4，可否这样理解？

本人对稳定性的认识还比较主观，希望得到进一步的指导，谢谢！

meiyongyuandeze · 发表于 2011-4-12 15:33

本帖最后由 meiyongyuandeze 于 2011-4-12 16:21 编辑

回复 4 # 雨人的帖子

1. 首先纠正下：定量分析时不对的应该是定性的分析。如果采用数值方法，需要注意的是不稳定的平衡点及周期轨道是不不容易模拟得到的，即使能完全已知平衡点周边的轨线形式要判定运动特性还需要看系统非线性项的作用。
2. 在研究静态分叉的时候，中心流行方法主要可以降低方程的维数。如果系统在有一个奇异点，那么在奇点附近，中心流行上的流行足以反映系统的动力学特性，可以根据中心流行上平衡点的分叉来描述原系统的平衡点上的分叉。
3. 高维是指相空间的维数较高，一般来说4维的问题在理论上还是可以操作的，但已经是需要很大的计算量，对于一般的工程问题，只有将其化简为较少自由度才容易应用分叉理论来分析。
个人水平很有限，上面的说法不一定对，也请高手们进行指正！

补充一点，推荐一本书，很好的入门：
《常微分方程几何理论与分支问题》，我研究生时的教材，感觉写得很不错！

雨人 · 发表于 2011-4-12 16:15

回复 5 # meiyongyuandeze 的帖子

还是非常感谢meiyongyuandeze的解答！
我是学机械的，数学基础要差些，之前囫囵吞枣的看过《常微分方程与动力系统》，感觉里面的内容理解起来有点吃力。以后争取在看看先生推荐的教材。
我想冒昧的在问一个工程上的问题。
我的方程有四个自由度，化为标准形式Dx=f(x)就有8维了，由于考虑的是一个冲击动力学，f(x)不连续。现在主要采用数值仿真的方法，获得相轨迹，做一些庞加莱图，功率谱反映系统随一个参数变化的运动形态。感觉数值仿真应该和理论分析相辅相成，如果数值仿真在某一参数下，对应的系统是不稳定的，是否可以通过稳定性分析来验证呢？我现在主要的思路是通过计算雅克比矩阵，判断特征值，不知道是否正确？还望meiyongyuandeze在给点提示！
谢谢

meiyongyuandeze · 发表于 2011-4-12 16:20

回复 6 # 雨人的帖子

按照你的说法这好像是在判定平衡点的稳定性吧，个人感觉应该是可行的！

雨人 · 发表于 2011-4-12 16:24

回复 7 # meiyongyuandeze 的帖子

谢谢meiyongyuandeze先生的持续关注！我尝试一下了！

meiyongyuandeze · 发表于 2011-4-12 16:26

本帖最后由 meiyongyuandeze 于 2011-4-12 16:29 编辑

回复 8 # 雨人的帖子

祝一切顺利!
混沌动力学中的一些术语及简明词汇（分享）！
http://forum.vibunion.com/forum-viewthread-tid-100848-fromuid-77817.html

gyq274706322 · 发表于 2011-5-26 10:51

加油

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[稳定性与分岔] 系统稳定性和相图

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