edanshow 发表于 2010-4-15 22:37

线弹性与各向同性的问题

看书上说说弹性张量C的 第三重对称性是在线弹性里面才成立 我想问下，线弹性体和各向同性有什么区别 ？ 各向同性的材料的话，C是否也满足第三重堆成性啊 我忘记了

nonlinear 发表于 2010-4-16 08:45

线弹性是指应力应变成正比，与之对应的有粘弹性等
各向异性是指材料在不同的受力方向表现出不一样的本构关系。

纤维是各向异性材料，在小变形下也是线弹性材料。

edanshow 发表于 2010-4-16 11:54

回复 沙发 nonlinear 的帖子

我问的是Cijkl这个的第三重对称性！

MechandMath 发表于 2010-4-16 13:43

呵呵，楼主对二楼的回复口气不对！你也问了线弹性体与各向同性的区别吧！二者的区别是线弹性就是应力应变成线性关系，而各向同性只是应力应变关系不随坐标变换而变化，张量的语言来描述就是应力张量是应变张量的各向同性函数！又由于应力张量和应变张量的对称性，根据哈密尔顿-凯莱定理（张量表示定理），对于各向同性而言，应力最多是应变的二次函数，所以说各向同性也可以为二次，即各向同性不等价于线弹性，而线弹性既可以是各向同性也可以是各向异性。二者没有必然的联系！
       对于第二问，就是在线弹性条件下的弹性张量的Voigt对称性，楼主所说的第三重对称性要根据Green弹性的假定才能推出来，即假设弹性应变能与路径无关，只与应力或应变的状态有关，因此是所谓的势函数，也是称之为弹性势的原因吧！下面是一个说明：
    对于各向同性线弹性材料，根据各向同性的条件直接可以证明弹性矩阵是对称的，具体操作是：对原坐标系进行三次旋转(x-y面绕z轴旋转90度，x-z 面绕y轴旋转90度，x-y面绕z轴旋转45度，注意这里每一次旋转都在原始坐标位置开始的)，这样可以得到弹性矩阵的对称关系，并且得到各向弹性线弹性体只有两个独立弹性数(Lame弹性常数)的结论。反过来对于线弹性体，如果其弹性矩阵对称的，那么可以证明其存在弹性势能，就像证明势函数存在一样。这时并不要求材料是各向同性的！
      上面已经回答了楼主朋友的问题，就是各向同性线弹性材料一定是Green弹性，即弹性张量满足所谓的voigt对称性，当然满足第三重对称性。但是对于各向同性非线性的情况我暂时没有考虑。其次就是由各向同性线弹性可以推出弹性矩阵对称，即弹性矩阵对称是各向同性线弹性的必要条件，是否也是充分条件呢？是否弹性矩阵对称的情况下材料是各向异性的呢？这是我的一些问题，欢迎大家讨论！
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