lian2004 发表于 2009-9-9 15:19

单元与连续介质的模态阶数

通常对于一个刚体机构，他有几个自由度就应该有几阶模态频率，但是对于一个连续体结构，考虑到连续体的变形，那它有几阶模态频率？

在有限元中，我做了一个实验，对于只有一个一阶六面体单元的模型，计算自由模态有24阶，到后面的很多阶会出现频率一样；改为二阶六面体，计算自由模态有36阶，到后面的很多阶同样会出现频率一样，我的理解是这样的：在有限元中，单元节点只有三向平移自由度，一阶六面体有8个节点，即24阶频率，对于二阶六面体，由于边上节点的自由度受角上节点的牵制，实际只有1个自由度，故24+12=36阶频率.

以上只是个人理解，希望懂有限元的达人能解答一下，谢谢！

狂飙的小熊 发表于 2009-9-9 22:06

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连续弹性体有无穷多个自由度，因此有无穷多个固有频率。这毫无疑问。
有限单元法通过对结构离散化将一个连续体看作由多个性质相同的单元组成，使一个无限自由度的问题变为有限自由度的问题。FEM本身就是一种近似的数值解法，用FEM能保证几阶频率较为精确取决于网格的数量、单元的选择等等。你将模型化为一个单元，虽然得到了24阶，但很有可能连基频都是不准确的。所以个人认为你的实验没有意义。over

小郝 发表于 2009-9-9 23:01

不太一样的理解

我觉得从基础上来做这些东西还是非常有必要，不能说这个实验没有意义。如果说这个实验进行进一步推广的话，可以推算空间形状的模态，比如说空间弹性结构的固有频率计算和模态计算。很有意义。再次，对于楼主实验一点看法，你的模态计算是线性的，能否按照有限元连续的基本思想推广到非线性，含有2次或者3次项？我觉得如果单纯做一个单元的计算实验，这个是不是有点太简单了？如果能研究出精确的多项式的有限元模态计算，将会对理论和实际应用有很多的启发。
    谢谢楼主的实验。

lian2004 发表于 2009-9-10 11:22

回复 沙发 狂飙的小熊 的帖子

谢谢您的解答！
我知道用单个单元来模拟计算模态，其频率的准确性是不可信的，但是其模态的阶数是不会因为网格数量、单元等发生变化的。
我们先抛开某阶频率准确性的问题，单从模型的阶数讨论，您能否从有限元的角度给我解释下，为什么一个一阶六面体单元的时候只有24阶频率？一个二阶六面体单元有36阶？……如此推广，符合什么样的规律呢？

lian2004 发表于 2009-9-10 11:27

谢谢您的建议！
我计算的模态确实是线性的，如果推广到非线性，目前本人还不具有这个水平，但这确实是个可以考虑的方向！
其实我的出发点没有您想象的那么复杂，我只是想知道，有限元里面的模态阶数到底是什么因数来决定的？因为有限元的方法跟很多解析法，实验法不同，那么我们应该怎么样去理解！

飞天诗人 发表于 2009-9-10 11:37

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模态的阶数与结构的自由度数有关系。连续体有无限多个自由度就有无限多个模态。有限元只是把连续体离散了而已。模态的个数是和网格形状，数量都有关系的，网格越多，自由度就越多。只不过高阶模态算不准，而且意义也不大且计算量大，因此一般用里兹法，子空间迭代法等计算对影响实际工程影响较大的低阶模态。两种单元的模态数不一样是因为两种的单元的节点数不一样。

lian2004 发表于 2009-9-10 14:23

回复 6楼 飞天诗人 的帖子

"两种单元的模态数不一样是因为两种的单元的节点数不一样。"
这个是很明显的，但是他们之间有没有什么公式关系呢？您说的那些我也知道，我只是想知道更准确的量化描述，比如网格数量，自由度等，他们对模态阶数用公式应该怎么描述出来？
像您说的里兹法、子空间迭代法，还有直接法等，他们只是在处理方程时采用的不同求解方法，不过我还不知道，他们在实际求解的过程中会不会对模态阶数产生影响。但是据我个人使用有限元计算的验证，对于模态阶数都一样，但是对于低阶频率有微小振动，基本都差不多。

飞天诗人 发表于 2009-9-10 15:46

回复 7楼 lian2004 的帖子

有限元求出的模态就是单位化了的广义特征向量。
不明白你这句话“他们在实际求解的过程中会不会对模态阶数产生影响”。里兹法只求出最低阶模态的近似解；子空间迭代法，顾名思义，就是在一个子空间中求解，是一个缩小了的模态空间。

小郝 发表于 2009-9-10 22:41

从有限元角度讲

从有限元角度来说，离散化之后，刚度矩阵得来是根据点之间的相互作用，像你说的3*3，这个是没有错误的，我觉得你这个实验可能设计有问题，按照我当时学的，因该是按照提供点的数量来列刚度或者柔度矩阵，离散后的弹性体等同于刚体，那么说系统的固有频率数等同于矩阵的阶数，你所说的线的中点受顶点限制，这点不存在，或者说你对单元形函数理解有错误，增加中点的目的就是提高精度，更准确描述各点力和位移的变化，其中包含连续，两个点应当是ax+b,当三个点坐标时候，就不该是ax+b了，那样失去了加中点的意义，这也就是为什么我建议你增加形函数多项式的次数，增加次数之后，随着来的就是求解的困难，具体深入下去，你可以再看看数值分析相关东西，如果要你的实验有意义，我的理解，这样是最好，也是你最容易出成果的了。abquse是非线性有限元，工作了也没有时间去看它的计算原理，如果你有时间，可以参看。
另外，你对于你的实验中的考虑，从数学上来说，是这个原因，没有错，就是因为你定义了边都是线性，所以，边上中点在所在线的方向上“被连续”了，失去了在这条线上表达自己意义的机会，所以自由度上，共增加了12.

longrove 发表于 2009-9-24 11:42

楼主的贴子以迅雷不及掩耳盗铃之势成为论坛的一大焦点。
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