dingd 发表于 2008-4-7 22:04

用1stOpt求解常微分方程及方程组(转贴)

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用1stOpt求解常微分方程及方程组1stOpt求解非线性方程组已有不少介绍和很多应用,但遗憾的是1stOpt没有提供常微分方程的求解功能,在这里介绍一种变通的方法,通过差分格式,不仅能求解标准的微分方程,还能求解任意复杂的微分方程,只是其精度只相当于欧拉法(Euler)。

如:y' = dy/dt = t*y,初值 t = , y = 1

1stOpt代码:
Constant dt=0.1;                                  //步长,越小精度越高,但计算时间也长
LoopConstant y1=, t=;
Parameter y2;
Function (y2-y1)/dt = t*y1;

上面代码中LoopConstant y1=表示第一步时y1值为1,以后y1则等于上一循环计算所得的y2。
计算结果如下,与常微分欧拉法所得一样:

循环常数 t 循环常数 y1
0 1
0.1 1
0.2 1.01
0.3 1.0302
0.4 1.061106
0.5 1.10355024
0.6 1.158727752
0.7 1.22825141712
0.8 1.3142290163184
0.9 1.41936733762387
1 1.54711039801002

上例并无特殊优势,但看下例:
y' = t*y-z*z';
z' = t*z+y*exp(y'+z');
初值t = , y=1, z=1

这种形式标准的方法如欧拉法、龙格库塔法都无法直接求解了。

1stOpt代码:
Constant dt=0.1;
LoopConstant y1=, z1=, t=;
Function (y2-y1)/dt = t*y1-((z2-z1)/dt)*z1;
             (z2-z1)/dt = t*z1+y1*exp((y2-y1)/dt+(z2-z1)/dt);

结果:
循环常数t y z
0 1 1
0.1 0.899999999847854 1.10000000015216
0.2 0.798894469008816 1.20009593727422
0.3 0.69409853000059 1.30073274860262
0.4 0.582334502155038 1.40266528157356
0.5 0.459205702222521 1.50705382100723
0.6 0.318419202912966 1.6157073953972
0.7 0.150372647532221 1.73154006912461
0.8 -0.0603377391019254 1.85930868153434
0.9 -0.338707575417113 2.0064293936054
1 -0.723016256208378 2.18277499546557

由上例,1stOpt可求解任何复杂形式的常微分方程组,其精度可通过减少步长来获得提高。
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