wlxydgq 发表于 2007-8-1 18:41

求助有关稳定性和hopf分岔图的一个简单的方法

本人不是数学专业的,但是需要分析非线性方程(组)的稳定性,还要画出它的分岔图来,看了一些书籍,一个字,晕!全是数学思维的东西,我不是说数学的东西不好,而是太深了,而且数学专业的书它的脉络和思路感觉和别的学科真的差别很大。
      所以,就想建议高手们,能否总结一下,适用于别的学科应用的,步骤或思路,会用就可以呀。当然,基本的的知识还是要学习的!
      比如:1、怎样判断方程的稳定性,稳定性的好坏;闭轨曲线和极限环的区别;稳定性和极限环及极限环数量的关系。2、在不求解的情况下,是否可以知道方程是否振荡,振荡和列的方程有什么关系。3、分岔的概念很多,有什么区别,什么情况下产生什么分岔;怎么样判断这个分岔点属于什么分岔;怎么样画出分岔图,尤其是hopf分岔,画图的具体步骤是怎么样的呢。
      呵呵,也许有人说我比较懒,唉,自己实在看不懂专业的书籍,另外我想,如果领悟了以上的基本知识,对于以后学习专业书籍也有帮助。也许有人会说,如果回答了这么多的问题,就够出本书了。我觉得对于好多人而言,需要的是怎么用就可以了,所以不需要很严密的思想。老师曾跟我们说过,数学专业的人看到一个方程,想的是它是否有解,而我们学物理的在想怎么才能解它。现在多少有点体会了。

      先谢过各位了,企盼早日见到这些精华!!!!!!

wlxydgq 发表于 2007-8-1 18:43

补充

另外,如果有了,我会整理出来,希望版主放到精华贴子里,让人学习方便使用方便。

咕噜噜 发表于 2007-8-1 19:01

回复 #2 wlxydgq 的帖子

问题太大了啊,不好总结,因为非线性问题本来就还没很完善
不过我们会尽力整理一些出来,希望能对大家有所帮助,也欢迎你的参与

无水1324 发表于 2007-8-1 19:07

你这些问题我全部回答对的话,我马上就可以出一本书叫着《分岔与稳定性》。没有能力所以只能给你提点建议。我们这里大部分都不是学数学的,但是绝大多数都是在做振动。

   做非线性你首先要了解你的模型、你的系统,是个什么样子的?自治的、非自治的。还是参数激励等等。明白了这个你就可以开始着手分析了。分析首先要学方法,这里面方法很多但是一般的都是基于自治系统的稳定性分析。如LS方法、中心流行、奇异等等。分岔的种类也有很多,平衡点的分岔、闭轨分岔、同宿异宿分岔等。这些你要看具体的一下理论的书。每一个小点都可以说几天几夜的,..................!

octopussheng 发表于 2007-8-2 13:46

楼主提的问题实在是太广了,要都写出来我看出本书都够了,呵呵,建议你还是把下面基本书啃一啃啦

《分岔与稳定性》
《非线性动力学中的现代分析方法》
《分岔与混沌理论及其应用》

liuxiangf 发表于 2007-8-30 15:21

楼主的问题确实很大。但是,你所提出来的可能是搞非线性振动的一个基本问题的集合。搞懂了这些问题,你就从门外进入门内了。我也希望学会这些内容,可是谈何容易啊。
但是,我觉得现在的主要问题可能还是没有合适的书籍和论文。在我们现在能够找到的书籍中,好多书籍对于关键的问题都是讳莫如深。而且单纯搞数学的人擅于着藤一堆公式或者搞一系列严谨的推导。很少有人把适用于工科的解决方法系统性地,简单明了地给出来。
我认为,论文要多读外文文献(特别是外国作家的),或者是多看看国内大家的处女作或者初期的论文。如果有可能,在学习基础性的东西的时候,最好还是能够找到经典原作。比如,我现在在努力攻读Poincare映射的建立方法,可是,手头的资料基本上没有系统性介绍起建立方法的。

vib 发表于 2007-11-3 20:46

知道的朋友就给出点回答吧,大家一起讨论,一起弄懂这些东西吧,很多文献确实不好懂。

空山长风 发表于 2007-11-3 21:26

看看奇异性理论,极限环理论这些可以解决你的一些问题
分岔:焦点分岔 极限环分岔 同宿异宿轨分岔
HOPF分岔对应的是焦点分岔极限环分岔是庞加莱分岔
涉及到高维的就需要降维,LS方法中心流形 ,维数大了只是理论上可行,实际上没有可操作性。
函数表达式过于复杂的时候可以用PB范式和级数展开等化简
判断极限环有一些成型的理论处理平面问题:后继函数法 旋转向量法 变分法 级数展开法庞加莱法等等
数学画图(现在基本都是做平面哈密顿系统的):
               1 找奇异点
               2 判断奇异点类型及奇异点周围是否有极限环 同宿异宿轨道,以及是否稳定
               3 判断极限环和同宿异宿轨是否破裂,分出极限环 分出几个,是否稳定
               3 画出全局极限环分布图
工程画图: 1 数值方法加庞加莱映射
                2奇异性理论画图

极限环分岔里面有一个希尔波特第十六问题的弱化问题,现在没有解决,有兴趣可以看看

[ 本帖最后由 无水1324 于 2007-11-4 17:41 编辑 ]

无水1324 发表于 2007-11-4 09:26

极限环分岔里面有一个希尔波特第十六问题的弱化问题,现在没有解决,有兴趣可以看看

能否提供以下参考文献或者出处?

无水1324 发表于 2007-11-4 17:49

回复 #8 空山长风 的帖子

说得很好,但是对于新手来说已开始可能会遇到:
1、LS、中心流性方法具体怎么计算,具体的步骤是什么?学数学的要求一般性格规律性所以说得比较笼统,这个不适合初学者看懂;
2、Hopf分岔是一个典型的分岔问题。但是什么是Hopf分岔确很难确定,Hopf分岔有三个假设条件,满足的时候是Hopf分岔,不满足的时候又出现了退化Hopf分岔(这点我只在一本书上看到,还没有得到准确的答案)。这些退化与非退化之间的区别是个什么样的表现形式,这个还是不清楚。
3、判断极限环的数量,这个问题可能有点难,因为这个问题到现在都是个难题、也一直有人在做,不过主要是以2次平面系统为主体。对于具体的问题可能还需要一定的简化和转换。

octopussheng 发表于 2007-11-5 13:49

无水说的这些问题确实都是很大的问题,但是我们这里也不可能说的面面俱到,这些东东还是需要自己去看书、去理解的哦!呵呵!不过你这里也是为从事定性分析的朋友指出方向了!
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