看张量分析引出的疑惑——到底什么是矢量？
我想大家最初接触矢量的概念应该是在物理里面。高中物理的教科书上就说了，有些物理量，只要用一个数量来描述它的大小就可以了，比如温度，这样的物理量叫做标量；而有些物理量，比如力，描述它不仅需要说明它的大小，还有指明它的方向，这样的物理量叫做矢量。那么从这里看来，所谓矢量是对一类有大小和方向的物理量的统称。高等数学里面矢量的定义很清楚，就是指空间的有向线段，并且定义了两个矢量和（平行四边形法则）、数乘、点积、叉积等矢量的运算规则，在以上定义的基础上可以推出各种矢量运算的一些性质，比如加法的交换律、点积的分配律等。然后建立空间直角坐标系，将有向线段在坐标轴上的投影作为矢量的坐标，则矢量跟坐标一一对应，于是以上定义的矢量运算都可以用坐标运算来进行。在这里，矢量没有任何的物理意义，纯粹是人为的为空间有向线段制定了一套“游戏规则”，就跟象棋里面的各种规则一样，接着就可以开始做“数学游戏”了。
而黄克智等编的《张量分析》里第一章第一节第一句话就说“在三维欧几里德空间中，矢量是具有大小和方向且满足一定规则的实体”。我想所谓的三维欧几里德空间是不是就是指几何空间？“实体”又是指什么呢？满足的一定规则是人为定义的还是物理规律。看了很多搞力学的人写得张量分析的书，觉得要么对矢量的概念含糊的一提而过，要么语焉不详，没有像数学那样的从定义、公理出发逐步演绎的逻辑性。开头部分总是很含糊，看得人很不爽，也许写书的人觉得这些都是最基础的，用不着再详细说明了。照着书上的文字看还是能看懂，但总觉得有什么最根本的没有讲清楚似的。
综合以上三种说法，矢量到底是什么呢？物理量？空间有向线段？还是“实体”？矢量概念理解不清楚，就更影响对张量概念的透彻理解了。
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同样的疑惑，不过没有去仔细看张量，觉得矢量还是应该还是有方向和大小的一个量现在写书的人很多多里面的东西都不懂，都在参考，人云亦云，最后就不知道是什么了。 本帖最后由 VibInfo 于 2016-3-30 15:00 编辑
原帖由 Learns_To_Mech 于 2007-7-25 21:07 发表
高等数学里面矢量的定义很清楚，就是指空间的有向线段，并且定义了两个矢量和（平行四边形法则）、数乘、点积、叉积等矢量的运算规则，在以上定义的基础上可以推出各种矢量运算的一些性质，比如加法的交换律、点积的分配律等。然后建立空间直角坐标系，将有向线段在坐标轴上的投影作为矢量的坐标，则矢量跟坐标一一对应，于是以上定义的矢量运算都可以用坐标运算来进行。在这里，矢量没有任何的物理意义，纯粹是人为的为空间有向线段制定了一套“游戏规则”，就跟象棋里面的各种规则一样，接着就可以开始做“数学游戏”了。
这里你的理解好像有点不对，点积的意义就不说了。这里谈谈失积（叉乘），矢量积是指矢量A和矢量B 相乘得一个矢量C，即：A × B =C。矢量C的大小为 C=ABsinθ，其中是A和B 两矢量的夹角。 矢量C 的方向则垂直于A、B 两矢量所组成的平面，指向由右手法则决定，即从经由小于180度的角转向时大姆指伸直时所指的方向决定。
至于物理意义，拿电机的电磁过程来为例：磁场方向、电流方向和力矩就是满足矢量的叉乘运算。一些需要用左右手定则确定方向的3个矢量中都包含了这么一个叉乘关系，这样的例子应该挺多。可惜学识所限，能想到的就只有这个。自己的理解不一定对，欢迎批评、、
数学是一门自然科学，来源这自然界。数学规律也都是反应某些物理规律才抽象出来的，所以我觉得每一个理论应该都在一定的应用背景下提出来的。不过在物理学，空间几何等不同科目里定义也确实有出入。应该是侧重点不同，大致意思还是一样的
[ 本帖最后由 花如月 于 2007-7-26 13:03 编辑 ] 我觉得还是空间有向线段好理解一些，实体这个概念很抽象，不明白
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首先黄克智《张量分析》对矢量的定义非常清楚，你只是抽取了第一句话，在力学中，任何矢量都有其物理意义，或至少矢量是用来表达某个具体量的，而不是像数学一样，没有针对性。矢量有大小有方向，还要满足如交换律、结合律（包括数乘）、分配律等。具体还可以进行点积，叉积和混合积运算；矢量由一组数组成，它们组成一个整体，代表一个实体，如果要表示方向，显然必须将这组数放入一个度量标准里加以区别，这个度量标准就是Euclidean空间，当然不一定要三维。当然度量空间不一样了，这组实体在相应的空间表示不同，但不管如何它都是客观的存在的实体。另外n阶张量都可以看作是n-1阶张量空间的矢量，这是对矢量的推广，所以黄克智《张量分析》一开始会讲矢量，当然张量的性质和运算远远不是矢量所能比的，张量的应用更是越来越广泛，用张量及其导数表示力学系统，作本构等，微分几何也离不开张量。有些是个人理解，不当之处望指正:handshake 本帖最后由 VibInfo 于 2016-3-30 15:00 编辑
原帖由 中原 于 2007-7-29 10:23 发表
首先黄克智《张量分析》对矢量的定义非常清楚，你只是抽取了第一句话，在力学中，任何矢量都有其物理意义，或至少矢量是用来表达某个具体量的，而不是像数学一样，没有针对性。矢量有大小有方向，还要满足如交换 ...
我是先看完高等数学再看黄克智等编写的《张量分析》的，前四章先后看了几遍，当初看的时候倒也没有什么疑问，顺着书的思路接受，没有想那么多。现在看力学书里要用到矢量张量的知识了，细细想来总觉得有些概念还是不太清楚，甚至越想越觉得糊涂。你说书里对矢量的定义非常清楚，那到底是什么呢？我想搞清楚的是，我们说矢量，到底是指一个几何矢量呢，还是指一个物理量呢？
我从它的第一章后面阐述的文字看来，我觉得应该就是和高等数学里一样的，即符合一定规则的有向线段叫做矢量（几何矢量），但它始终没有明说。不知道我的理解有没有错。因为黄克智等编写的《张量分析》像是一本数学书而非某一门力学课。至于说力学里，任何矢量都有其物理意义，我想是不是因为某些力学量，比如力，和数学里的几何矢量具有类比性，比如力也具有大小和方向，力的合成服从平行四边形的法则，所以可以用一个几何矢量来表示力。当然正如前面有人说的，是先有实践经验，才有数学的，比如由电流切割磁力线而产生的力的规律，引出两个几何矢量叉积的定义，否则不会有谁凭空去想一套有向线段的运算规则出来来做游戏，那样变成为数学而数学了。但是很多的力学书，比如大多数的理论力学书等，总是不怎么区分几何矢量和某些“具有几何矢量性质的物理量”，总是混着叫矢量，比如一上来就说力是矢量，所以一个力可以向一个直角坐标系的基矢量分解。我就想不明白，力是个物理量，直角坐标的基矢量是什么（是几何矢量，还是物理量——沿坐标轴的单位力）？怎么可以这样分解，是不是应该理解成，力这个物理量可以用一个几何矢量来表示，所以才可以这样分解。不知道我的理解是不是有问题。
回过来再说张量，由于对矢量概念迷糊不清，对其后的阐述疑问就更多了。比如：
１、矢径是一个几何矢量还是物理量？
２、协变（逆变）基矢量是不是几何矢量？
３、同样对矢量的困惑出现在对张量概念的理解上。张量到底是一组随着坐标转换而按一定规律转换的数呢？还是物理量？或是并矢式？
４、黄的这本书总是用并矢式来表示张量实体，那并矢到底是什么呢？几何矢量运算里定义了矢量的点积和叉积，但是没有定义并矢啊？并矢式的意义又何在呢？如果把几个矢量并排写在一起叫做并矢，但似乎并没有定义过几个并矢相加的式子代表什么意思。
５、书里的这些矢量、张量跟物理量之间怎么联系起来？也就是说怎么把矢量分析、张量代数和分析这套东西来描述物理规律。
我想我的困惑可能也是很多人学习张量分析的困惑。一个矢量，仔细推究起来也不是那么好理解，张量就跟难理解了，但是解决了上面这些疑问，我想对大家理解什么是数学，物理规律如何用数学来描述，都很有帮助的，希望懂行的人都不吝赐教。
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矢量是数学语言，数学是所有自然科学基础，矢量这种概念、性质和描述方法为许多物理量的描述带来了方便（当然包括力学量），矢量得到广泛的应用就像微积分一样，在牛顿、莱布尼兹之前没有微积分，人们表示一些微积分概念时（比如计算一些曲面面积等）比较困难或者至少表达描述极为不方便，有了微积分之后，它立刻扩展到了所有自然科学领域，力学中也自然用了微积分；回到矢量，力学中的位移、速度、加速度和力都有方向、大小，它们具备了用矢量来表示的条件。如果某一天你发现了一个叫**的物理量（力学量），它有大小和方向，还是与矢量所在的空间一样，你也立刻可以用矢量来描述它。黄克智先生的《张量分析》（第二版）除了最后一节6.6节《连续介质变形和运动的初步知识》外，都在讲张量理论，曲线论、曲面论、二阶张量到n阶张量及其导数，包括一些特殊张量。《张量分析》是非常难的书，就本人经验看，此书是我到现在为止重复看次数最多的书，至少不下四次，现在也只能说有了粗略认识，由于学过《连续介质力学》或《理性力学》类的课程，的确觉得张量非常有用（特别是二阶张量），这也许和力学中的物理量特点有关，但力学本构研究就会涉及更高阶张量。
张量分析也是一种数学工具，张量最先应用于物理学中，特别是爱因斯坦的广义相对论发表以来（爱因斯坦求和符号的提出），张量分析得到巨大发展。人们为了更好的更清楚的描述一个物理量会发明一些数学工具并定义一些运算规则；有时人们会发展一种数学表示及其性质（特别是数学家）而不关心其具体应用，当其它领域的学者发现这些数学工具能描述他们的研究内容时，这种数学工具很快就有了实用价值，比如矢量、张量，再如闵可夫斯基空间对狭义相对论的描述等。有个疑问就是学者研究都是事物内在客观规律，凭什么与某种自成体系的数学工具有一定的类比性相似性基础条件时，就可以用这种数学工具的性质来表达甚至推进学者们的研究呢？这个疑问也许说明了大自然所谓的内在统一性和美吧。也可能有其它解释，比如学者发现这种数学工具虽然和他们研究的基础条件（比如矢量都有大小方向，基本力学量也有大小方向）相同，但这种数学工具的一些定义并随之推出来的一些性质对他们研究本身不大，则反过来也重新定义并推出一些有用的结论，但不管如何，这两者之间都有客观的事实存在，数学家的数学工具（矢量）和学者们的表示量（力）都有共同的基础条件（大小和方向），那么它们就有共性（方向和大小），而这些共性推出的性质则是它们必须遵守的，这也许是能用数学工具表述自然科学物理量的最根科学高度抽象或数学是其它学科的基础，这种观点显然有结论派式评论，我觉得它们之间很多时候是一个相互作用相互推进的发展过程。
张量从定义及从其得出的性质看并不多，但是一旦将其应用到具体问题中，就会得出非常多的性质和结论，比如书中应用到曲线曲面论中得到的许多性质。张量的表示方式有两种，一种方式采用表达式，在数学中讲，任何一个量的表示一般都是基于某种参考（比如坐标系）之下，这个表达式直接说明了不同参考下同一个张量的具体量不同（尽管形式相同），即随着参考的改变而改变以达到其内在不变性或实体性（客观性）；另一种表示称为实体表示，将张量看作一个实体，以基矢量并矢为基础表示，每种参考都有其自己基矢量并矢，它本身就反映参考之间的变换关系，基矢量并矢的改变（参考改变），相应的张量分量也改变，这样就与第一种表示方式得到统一。但第二种更能体现张量的实体性，注意它是有两部分组成即张量分量和基矢量并矢，不可分割。通常看到张量不写基矢量并矢，原因就是对此张量的运算实在同一个基矢量并矢下进行的（或同一参考下）。至于协变和逆变最开始我觉得纯粹是为了方便表示或者为了便于使整个张量符号体系表示更加有规律更加简洁（这是其骄傲所在）提出，但似乎并非仅如此，协变和逆变存在对偶性质，对偶一般会使问题表达描述更加简单。
另外，几何矢量就是数学中所描述的矢量，数学中的矢量就是工具，我们学很多数学内容都是我们做其它研究的工具（一般比较成熟的工具），这种工具可以具体化到某些物理量中，因为这些物理量和这些工具有共性（如方向和大小）。
矢量和张量（特别是二阶张量）如何联系及其所表示物理量之间关系，你要看看书中最后一节，或者看看用张量写成的《连续介质力学》或《理性力学》教程。:handshake 我没有看过楼主所说的那本书，但是我记得我看过的张量书里，对张量和矢量的定义很清楚啊：
张量就是满足某些变换规则的物理量，矢量就是一阶张量。
至于这规则，张量分析的书里讲得很详细了，说白了，就是一个坐标变换公式。比如说力，你将力在某个坐标a下，写出它的三个分量，然后换一个坐标系，再写出它的三个分量，你会发现这两组分量之间符合张量分析书中所说的那种变换关系，所以，力是矢量。
就这么简单！
前面的兄弟似乎写得太深奥了。 本帖最后由 VibInfo 于 2016-3-30 15:00 编辑
原帖由 Learns_To_Mech 于 2007-7-25 21:07 发表
我想大家最初接触矢量的概念应该是在物理里面。高中物理的教科书上就说了，有些物理量，只要用一个数量来描述它的大小就可以了，比如温度，这样的物理量叫做标量；而有些物理量，比如力，描述它不仅需要说明它的 ...
我的理解有限且用词可能不准确,下面是我的看法:
1 矢量的概念可以分为:几何矢量 (甚至代数矢量,抽象矢量),物理矢量.
2 矢量满足一定的规则 (主要是针对平行4边形法则来说的,)有的量有大小方向但不满足这些规则
3 物理矢量可以看作是一个实体,它可以用数学上的矢量来描述
[ 本帖最后由 zhpurple 于 2007-8-10 18:28 编辑 ]
楼主的问题很深刻
我觉得你很能思考问题。实际上我是搞机器视觉的，在学习射影几何的过程中也有类似的疑问。实际上，很多数学书上面对矢量的定义都是描述性的。而且各家体系不一样。其实越是基本的概念，越难于探讨。比如，几何一词的定义，就不好说了。欧几里德的几何概念跟高斯黎曼不一样，而高斯黎曼跟嘉当的看法又不一样。所以陈省身说，他无法给几何
一个定义。
其实历史上数学的发展，很多天才的概念在提出时，其内涵亦未必被深刻认识。如微积分在牛顿，莱布尼茨时代，根本就不是严格的。而在实践上，证明为一强有力的工具。至于真正
的严密化，则是19世纪的德，法两国数学家的工作。但是这并不影响微积分的应用价值。同样，对于欧氏几何，在希尔伯特以前，也是一个相当不严密的系统，且不说第五公设的问题，
就是在几何原本中，很多论证也是直观而缺乏严密。所以对欧氏几何的真正深入的理解，花了整个人类的2000多年时间。
上面的讨论是想说明这么一个事实，数学上追求严密，公理化，是最近的事情，在很多时候，数学正是在不严密中发展和前进的。试图深入的理解一个数学概念的内涵，可能是一个长期
的过程。比如，引入复数，开始不过是为了使二次方程总有根，但是后来复变函数的发展却大大的超出了这种初衷。
比如四元数，张量这些概念，应该还有很多内涵没有被真正认识。但是我觉得四元数是对复数的一种自然推广。
不过我觉得楼主的问题是很深刻的，非有深入的了解，不会产生这种疑惑，说不定这种疑惑就蕴含着对这些概念的革新性理解和超越。
希望能在msn上进一步探讨，共同学习。
我的msn huayue_21@msn.com
提供一个连接，希望对楼主有用
http://rapidshare.com/files/61780108/Tensor.Algebra.and.Tensor.Analysis.for.Engineers.pdf转y引自丘成桐的演讲 中国文学与数学
近代幾何學的創始人高斯認為幾何和物理不可分, 他說: 「我越來越確信幾何的必然性無法被驗證, 至少現在無法被人類或為了人類而驗證, 我們或許能在未來領悟到那無法知曉的空間的本質。我們無法把幾何和純粹是先驗的算術歸為一類, 幾何和力學卻不可分割。」 本帖最后由 VibInfo 于 2016-3-30 15:00 编辑原帖由 lisp21 于 2007-11-19 13:32 发表
http://rapidshare.com/files/61780108/Tensor.Algebra.and.Tensor.Analysis.for.Engineers.pdf
多谢你富有哲理和启发性的讨论！
你推荐的这本书非常好，虽然我只是粗略的看了前面的一点，但已深刻的感到了德国人写书的严密和严谨。如果在暑假最炎热的那些日子里，在我辗转反侧思索矢量和张量到底是什么而不得其解深为苦恼的日子里，能早点看到你的这本书，我的困惑可能早就解决了，还可以省下一笔买的那几本只翻了几下的书的钱来，：）
后来我也查了不少书，对矢量和张量的概念有了初步的了解，虽然现在让我说我也不是怎么说得清楚，惭愧！我在翻阅这本书的时候，发现在最开始的部分，作者就点出来了。
可惜我不是搞学术的，学张量是为了学连续介质力学，学连续介质力学是为了学有限元。后来由于我出于以应用为目的的功利性和时间的不允许，虽然现在对张量还是似懂非懂，但也没有时间去深入的思索它了。
对你还是非常的感谢和钦佩，现在像你这样富有探索精神， 追求事物本质，思维和表达都清楚明了的人真是不多。:handshake
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