pierre69 发表于 2007-3-4 11:46

向各位高手求教:自激振动及非线性微分方程组数值解的问题

请各位高手帮忙看一下以下的非线性微分方程组:

y''+ax''+y=F               (1)
ay''+bx''+cx'+dx*x=F      (2)
z+ex+x'+y'=0             (3)

其中y'、x'等导数是对时间的导数;x、y、z 是变量;a、b、c、d、e 是系统常数;F 是定常力。x*x 表示 x变量的平方。

想请教一下各位高手两个问题:

A。这个微分方程组表示的系统振动是否能看作是自激振动?为什么?
B。如想用四阶Runge-Kutta方法获得其数值解,应该怎样将其化为相应的一阶微分方程组?(我的问题在于不知如何处理 z 变量)

望各位高手赐教,不胜感激!!

[ 本帖最后由 pierre69 于 2007-3-4 11:55 编辑 ]

jhymv 发表于 2007-3-5 14:42

求解参考

B .不知道你用哪种计算机语言计算,可以尝试x=x1,x'=x2,y=x3,y'=x4,z=x5,则可把该方程组变成五个一阶方程组,用MATLAB编程求解比较简单;如果应用符号运算功能,应该可以直接求解这个非线性方程组.
A.该方程组有能量耗散项cx',但看不出能量输入项,做一下数值仿真再判断,c取负值试一下(3式中x'系数为+1).:handshake

pierre69 发表于 2007-3-6 04:51

非常感谢jhymv这位朋友的热心解答!
我是最近才涉及有关这方面的专业知识的,问的问题可能会比较幼稚,让各位高手见笑了。感谢各位高手的耐心帮助和赐教。

我还想请教jhymv这位朋友及其他高手以下几个问题:

A. 我是准备用matlab中的ode45函数加上简单的编程,对这个方程组进行数值求解。不知这是否就是jhymv这位朋友所建议的方法?

B. 我印象中,如用Runge-Kutta方法,所化成的相应的一阶微分方程组应该具有[ X ' ]=+的形式,其中=,和是常系数矩阵。
那么,一阶方程组中应该有关于x5'(也就是z')的表达式。不知我的理解是否正确?如果是这样,由于原方程组中并没有 z 的导数项,在一阶微分方程组中该如何得到有关 z 的导数的表达式,并将一阶方程组化为上述的形式呢?

C. 另外我对自激振动的概念不是很清楚,不理解什么样的项才能算作“能量输入项”(方程组中的定常力 F 是否可看作能量输入项?为什?);也不知该如何从数值仿真结果进行判断(判断依据)以及为什么要“c取负值试一下”?

D. 一个典型的描述自激振动德微分方程(组),其通常的形式应是怎样的,含有哪些典型项?

这些问题也许会贻笑大方了,不过还是恳请jhymv这位朋友及其他高手不吝赐教,非常感谢!:@)

[ 本帖最后由 pierre69 于 2007-3-6 05:10 编辑 ]

gghhjj 发表于 2007-3-11 21:28

A. 我是准备用matlab中的ode45函数加上简单的编程,对这个方程组进行数值求解。不知这是否就是jhymv这位朋友所建议的方法?
是的

B. 我印象中,如用Runge-Kutta方法,所化成的相应的一阶微分方程组应该具有[ X ' ]=+的形式,其中=,和是常系数矩阵。
那么,一阶方程组中应该有关于x5'(也就是z')的表达式。不知我的理解是否正确?如果是这样,由于原方程组中并没有 z 的导数项,在一阶微分方程组中该如何得到有关 z 的导数的表达式,并将一阶方程组化为上述的形式呢?
可以假设x5'=z试一下

C. 另外我对自激振动的概念不是很清楚,不理解什么样的项才能算作“能量输入项”(方程组中的定常力 F 是否可看作能量输入项?为什?);也不知该如何从数值仿真结果进行判断(判断依据)以及为什么要“c取负值试一下”?

D. 一个典型的描述自激振动德微分方程(组),其通常的形式应是怎样的,含有哪些典型项?

这两个问题建议看一下范德波尔方程,这是最典型的自激振动的例子
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