【原创】球轴承的变刚度振动
球轴承的变刚度（或变柔度）振动（varying compliance vibration）在90年代曾经是一个热点，2000年后也有人继续研究。因为前一阵正在做非线性方面的东西，所以以别人的论文为基础，将求解球轴承的变刚度振动问题作为训练手段，最后与他人的结果做了简单对比，这样可以验证相关程序并熟悉求解过程。
这几天闲来无事，^_^，将理论部分、计算程序、简单结果逐步上传，希望大家参与讨论给予意见！
一。理论基础
更正：附件图01.jpg中第一句 “如图1.2所示” 应为 “如图1.1所示”。
（其它部分将以回帖的形式陆续更新，待续）
[ 本帖最后由 yejet 于 2006-10-3 17:01 编辑 ] 二。程序实现
（本来与第一部分写在一起，后来发现太长了，可能很少有人耐心看完，所以将这一部分分开发布。）
理论基础部分只是阐述了非线性轴承力的产生和推导，实际计算的时候是考虑了一个转子-轴承系统中轴承非线性力对整个系统的影响。
假设转子为刚性，两端由球轴承支撑，盘在轴段的中间。转子轴承系统的动力学方程如下：
下面以西北工业大学赵凌燕论文《滚动轴承－转子系统的非线性动力学研究》上的一组数据为例编写Matlab程序，其具体数据见程序，不再一一列出。
程序主要是求解一个2元2阶的常微分方程组，数值积分得到系统的响应。其中，为了绘制分岔图，选择响应取点的周期为激励力的周期（这里即变刚度激励力的周期1/fvc）。
主程序
function BallBrg_NonL_Forum
% 求解外圈固定球轴承的变柔度(VC-Varying Compliance)振动（基于赵凌燕的论文）
% 程序有一些不合理、甚至错误的地方，可以用更好的代码代替，由于时间关系没有修改，
% 如有人感兴趣可以把修改的程序发布出来。
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% 作者：toes
% 版本：论坛发布版
% 相关程序：BallBrg_NonL_Sub_Forum
% 调试环境：Matlab7.0 WinXP SP2
% 参考文献：
% 1.赵凌燕.滚动轴承－转子系统的非线性动力学研究.西北工业大学硕士论文.2003.3.
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clear
clc
%% 参数设置
% 用了全局变量来传递一些变量，不推荐，但是懒得改了，好心人优化一下。
global w d D Nb gama kn M C F
% 为了方便绘制分岔图而设置的参数
n_One_T = 100;% 每个周期的采样点数
n_T = 100;% 采样时间占几个周期
% 61903/P5(17*30*7) 球轴承参数
d=0.0173;% 内滚道直径
D=0.0265;% 外滚道直径
Nb=9; % 滚子数
n_n = 0;
w_limit1=100;% 最低转速（rpm）
w_limit2=20000;% 最高转速（rpm）
w_step = 100;% 转速变化步长(rpm)
q_initial(1:4,1) = 1e-11;% 初始值
gama = 0.00002;% 间隙(m)
F = 6;% 径向力(N)
kn = 7.055e9*0.001^1.5;
% 滚子与滚道之间接触力与变形量的关系(N/mm^1.5)。赵的论文给出。
M=0.6*;% 质量矩阵
C=200*;% 阻尼矩阵
%% 响应计算循环
for w_rpm=w_limit1:w_step:w_limit2
n_n = n_n+1 % 计数变量
disp(w_rpm)
w = w_rpm*pi/30;% 转化为rad/s单位
wi = w;% 内圈角速度
wo = 0;% 外圈角速度
w_cage = ( wi*d/2+wo*D/2 )/2/((D+d)/4);% 保持架
w_vc = w_cage*Nb/2/pi; % 变刚度频率(vc频率)。单位Hz
T_vc = 1/w_vc;% vc周期
dt=T_vc/n_One_T;% 取点时间步长，dt随转速变化。
time=n_T*T_vc;% 总的时间
n = round(time/dt);% 离散点数
t_span(1:n) = linspace(0,time,n);% 时间数组
= ode23tb('BallBrg_NonL_Sub_Forum', t_span, q_initial);
% 至于用什么ode函数求解合适需要比较验证
Q{n_n}=q;
save Q.mat Q; % 存储数据
end
disp('Calculation is done!')
子程序
function dq = BallBrg_NonL_Sub_Forum(t,q)
% BallBrg_NonL调用的微分方程子程序
% 求解外圈固定球轴承的变柔度(VC)振动
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% 作者：toes
% 版本：论坛发布版
% 相关程序：BallBrg_NonL_Forum
% 参考文献：
% 1.赵凌燕.滚动轴承－转子系统的非线性动力学研究.西北工业大学硕士论文.2003.3.
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global w d D Nb gama kn M C F
wi = w;
wo = 0;
w_cage=( wi*d+wo*D )/4/((D+d)/4);% 保持架转速（rad/s）
fq=zeros(2,1);% 轴承力初值
diff_1_3 = q(1,1);% 水平方向位移
diff_2_4 = q(2,1);% 垂直方向位移
% 求轴承的非线性反力
for No_ball=1:Nb
sita(No_ball) = 2*pi/Nb*(No_ball-1) + w_cage*t;% 第No_ball个滚珠的位置角
Clearance(No_ball,1) = diff_1_3*sin( sita(No_ball) ) ...
+ diff_2_4*cos( sita(No_ball) ) - gama;% 滚珠与内滚道的间隙变化。
% 判断哪几个滚动体受到接触力
if Clearance(No_ball)<=0;
Clearance(No_ball) = 0;
end
fs = abs( (1000*Clearance(No_ball))^1.5 );
fq(1,1) = fq(1,1)+kn*fs*sin(sita(No_ball));
fq(2,1) = fq(2,1)+kn*fs*cos(sita(No_ball));
end
F_m1d1_cos = 0;% 不平衡力在水平方向的投影。本例不考虑。
F_m1d1_sin = 0;% 不平衡力在垂直方向的投影。本例不考虑。
Fq(1,1)= - fq(1,1) + F_m1d1_cos;% 水平方向外力
Fq(2,1)= - fq(2,1) + F_m1d1_sin - F;% 垂直方向外力
K = ;% 刚性转子，轴段为刚性。
% 动力学微分方程
dq(3:4,1)=inv(M)*(Fq-K*q(1:2,1)-C*q(3:4,1));% x和y方向加速度
dq(1:2,1)=q(3:4,1);
（其余部分整理中，待续。）
[ 本帖最后由 toes 于 2006-9-5 13:32 编辑 ] 三。结果分析
应用第二部分的MATLAB代码求解，可以得到转子－轴承系统的非线性响应。
我们可以对非线性响应进行分析，来研究响应的特点，也能由此判断系统的运行状况。一般，分析会从时域波形、频谱图、庞加莱图或分岔图等方法开始着手。这里，就频谱图和分岔图各举一例。
1。下图为转子－轴承系统10000rpm时的频谱图：
可以看到，图中主要以变刚度频率fvc和它的次谐波频率为主，包括fvc、1/5fvc等等；而且图中杂乱的频率很多，幅值也较大，就像有“噪声”干扰一样，这说明系统已不是在做周期运动了，而是一种非周期的状态。
2。再从分岔图来分析。下图为系统100～20000rpm的分岔图：
分岔图并不是很清楚，很多转速段可以细致再做（主要是我懒，呵呵），但从图中可以看到几处明显是周期运动或非周期运动的转速区域。比如，12000～15000rpm之间系统处于周期1的运动状态，而在频谱图中分析的10000rpm左右为非周期运动（具体是混沌还是准周期还可从庞加莱图判断，但从其附近的状态来讲，应该是混沌，实际上其频谱图也证明了这一点）。
3。需要补充说明的是：
这个算例只是为了考察轴承变刚度对转子系统动力特性的影响，所以其响应中的主要频率成分是变刚度频率fvc。对于工程实际中的转子系统，转子的不平衡量是无法去除的，在转速较高的情况下，响应中的频率成分会以不平衡力频率为主，所以变刚度的影响相对会很小，fvc不容易被试验测到。另外在存在不平衡量的情况下，应该用多频频闪法做庞加莱图和分岔图，虽然我认为多频法在轴承的变刚度分析中并很不实用，呵呵。
（全文完，盼望有人扔西红柿，谢绝砖头。）
[ 本帖最后由 toes 于 2006-9-6 19:10 编辑 ] 动力学方程中的系数Kn是定常的吗？变刚度体现在哪？
还有这个系统有解析解吗？ 原帖由 hongking111 于 2006-9-6 21:34 发表
动力学方程中的系数Kn是定常的吗？变刚度体现在哪？
还有这个系统有解析解吗？
这里的Kn应该是个常数，变刚度应该体现在公式中的几个三角函数上
这个系统解析解估计是不太可能得到，不过近似解倒是有可能
上面仅是个人看法，希望楼主给出确切答案 原帖由 hongking111 于 2006-9-6 21:34 发表
动力学方程中的系数Kn是定常的吗？变刚度体现在哪？
还有这个系统有解析解吗？
kn为常数。
变刚度体现在公式1-10。由这个公式得到的轴承当量刚度是随时间发生变化的。
好像没有看到有人求得它的解析解和近似解。 原帖由 toes 于 2006-9-6 23:40 发表
kn为常数。
变刚度体现在公式1-10。由这个公式得到的轴承当量刚度是随时间发生变化的。
好像没有看到有人求得它的解析解和近似解。
如果要考虑近似解的话大家不知道有什么建议？比如用什么方法比较合适？ 估计有难度，因为这个模型中的非线性因素至少有两个：
1。单个滚珠与单个滚道之间力与变形的关系是非线性的，一般是3/2次方。
2。就算滚珠与滚道之间的刚度是常数，随着轴承的运转，整个轴承的当量刚度也是非线性的。
所以两个非线性因素叠加在一起的话，求近似解是有相当困难的。 原帖由 toes 于 2006-9-8 15:41 发表
估计有难度，因为这个模型中的非线性因素至少有两个：
1。单个滚珠与单个滚道之间力与变形的关系是非线性的，一般是3/2次方。
2。就算滚珠与滚道之间的刚度是常数，随着轴承的运转，整个轴承的当量刚度也是非线 ...
当量刚度指的是哪一部分？ 指的是轴承径向载荷与径向位移之间的关系，由二者的比值可以得到一个当量刚度。 精细地研究这个问题应该相当复杂！
如果转速较高，并且载荷较大的时候。
楼主用的Hertz定接触并不适用，此时接触刚度是动态变化的 ，需要考虑接触碰撞过程的能量耗散！
球轴承的变刚度振动
知道质量，刚度，阻尼比，怎么计算阻尼？ 你建立动力学方程时，有没有考虑接触角的变化？你的接触角是否为常量我也在做球轴承的非线性振动的研究，欢迎大家经常交流，加qq：23126773，验证码：轴承
哈哈
什么叫“多频频闪法” ，怎么没听说过，查百度也只你这有，你是西工大袁如的学生吧？回上一楼问
他是拿别人估计是他师姐的东西重做了，我可以告诉你他没考虑轴承接触角变化
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