力学赏析：古建筑雀替的“倒角功能”猜想
雀替是中国古建筑中的一种构件，用在梁枋与柱的交接处。宋代称“角替”，清代称为“雀替”，又称为“插角”或“托木”。一般认为，雀替有防止梁枋拔榫、增强梁枋端抗剪能力、避免梁枋与柱间角度倾斜、减小梁枋净跨距等多种作用。图1 江南古民居（在柱与枋的连接处都设置了雀替）
选择图1两个立柱之间的枋为研究对象，由于枋与立柱之间为榫卯连接（如图2(a)所示），考虑到它们之间可以有一定的转动位移，当转动位移很小时，将枋简化为简支梁，枋的自重和上部载荷理想化为均布载荷，因此画出其剪力弯矩图，如图2(b)所示。
图2 枋的简支梁模型及其剪力图、弯矩图
从剪力图可见，枋的剪力在两端最大，如果在枋的两端增加一块“雀替”，与枋一起分担剪力，就增强了枋的抗剪能力。同时，“雀替”还相当于减少了枋的跨度，从最大弯矩的计算公式ql 2/8来看，l 为跨度（即所谓“减小梁枋净跨距”），减小l 就减小了枋的最大弯矩，提高了枋的弯曲强度储备。
假设枋的弯曲变形较大，两端榫卯连接紧密结合，枋将在两端产生弯矩，这时将枋简化为两端固定的梁，成为三次超静定结构。考虑对称性，将梁从中间截开，中间截面无剪力，可视为一次超静定，先求出中间截面弯矩为ql 2/24，以及固定端弯矩为ql 2/12，再利用均布载荷与剪力图、弯矩图的微分关系，画出剪力、弯矩图如图3所示。
图3 枋的两端固支梁模型及其剪力图、弯矩图
可见，枋在榫卯连接处上端受拉、下端受压，因此上端有拔出趋势。如果枋下垫有雀替，可减小枋在榫卯连接处的弯矩（替木减小了枋的跨度l），起到避免梁枋与柱间角度倾斜、防止拔榫等效果。
上述分析都以枋为研究对象，得到了雀替对枋强度或刚度的增强作用。如果将立柱与枋组成的框架视为整体来看，雀替的出现就具有了“倒角”的功能，起到了减小结构应力集中的效果。
所谓应力集中，是指在构件中有开孔、沟槽、肩台等局部突变时，应力急剧增加的现象。例如，我们把梁枋与柱围成的区域视为一个整体，如图4(a)所示，则在竖向均布载荷下，每一个水平截面上，受力都是均匀的，但如果是枋与柱组成的框架，如图4(b)所示，在梁枋与柱的连接处将成为截面突变处，将会产生应力集中现象。
图4 梁枋与立柱连接处应力集中示意图
历史上，应力集中曾给工程带来过十分严重的灾难性事故。最著名的例子是英国德.哈维兰公司的彗星飞机 (de Havilland Comet) 事故。该型飞机于1949年首飞，1952年5月正式投入商业运营，不过很快该型飞机就遭受了巨大的重创。1952年10月，一架从罗马钱皮诺机场起飞的航班未能升空冲出跑道，飞机报废。1953年3月，一架从巴基斯坦卡拉奇起飞的飞机未能起飞，坠入排水渠并与路堤相撞，机上五名机组人员和六名乘客全部遇难。1953年5月，一架从印度Calcutta-Dum Dum起飞的飞机6分钟后在雷暴中坠毁，机上43人全部遇难。
这几起事故前两起被归于飞行员操作不当，后一起被归于雷暴天气。但接下来的两起事故迫使工程师将目光转向了结构设计缺陷。1954年1月11日，一架从罗马飞伦敦的客机在空中发生爆炸解体，机上35人全部遇难。但航空公司为了不影响营业，说服英国政府准许展开调查的同时复飞该型飞机，然而，时间仅过去了十周，4月8日，一架从罗马前往埃及的飞机同样在空中爆炸，机上21人全部遇难。
这次彻底震惊了各界人士。为了调查清楚飞机的破坏过程，调查人员制作了一个巨大的、可容纳整架飞机的水槽，然后通过循环加压，模拟飞机的飞行时所受到的载荷。该实验计划不间断的模拟飞机飞行，载荷每5分钟循环一次。起初，按照设计标准，研究人员预计飞机破坏需要5个月的时间。然而，仅一个月之后，研究人员就发现，裂纹顺着飞机的窗户和舱门延伸出去导致飞机蒙皮发生严重的开裂。
(a) 实验用的大型水槽、可以看到外露的机翼
(b) 模拟3000次飞行之后开裂的蒙皮图4 模拟飞行实验与开裂的蒙皮
这一现象让研究人员相信飞机结构在疲劳载荷下发生了致命的断裂。为了找出裂纹源，研究人员对整个飞机构架的进行了应力测量，发现机身上的窗户和舱门处发生了应力集中。研究人员在对舱门和窗户的应力分析中发现，这里的应力是飞机其它地方应力的4-5倍（因测量手段限制，这很可能不是最大应力）。
原来彗星号飞机为了提高乘客的飞行体验，将飞机的窗户设计为方形落地窗（你没看错，飞机上的落地窗），直角处产生了巨大的应力集中，而且窗户四周的支撑采用了冲压铆接（原设计为钻孔和粘合剂连接）工艺，冲压时在孔周形成微小的裂纹，两项叠加造成了对机身的致命缺陷。
图5 飞行中的彗星号可见其巨大的方形窗户
后来，一艘意大利拖网渔船意外打捞到一大块飞机残骸印证了这一结论。残骸位于机身顶部，包含了两个用于发送和接收无线电信号的窗户，这一窗户具有和机身窗户相同的制作工艺，严重的应力集中使得裂纹从窗户的直角处延伸出去，造成了飞机的解体。
图6 彗星号机身顶部的无线电接发窗户
这次事故调查深深影响了人们对结构强度的理解，理解了构件在形状突变处（如方孔角、裂纹等）的应力集中危害。早在1919年，穆斯赫利什维利 (N. I. Muskhelishvili) 求解了椭圆孔的孔边应力，发现椭圆孔的最大应力发生在长轴顶点，大小为
这里，a 为长半轴，b 为短半轴，σ 为构件中的平均应力（即不考虑结构几何突变时，计算得到的平均应力）。为了方便的理解应力集中的程度，人们利用最大应力与平均应力之比定义了应力集中系数K，即
可见，当椭圆变的很扁时，就像一条裂纹，即b 趋近于 0，此时应力集中系数将趋近于无穷大。当a=b 时，椭圆变为圆，应力集中系数最小为3。这启示人们，如果非得在构件上开孔的话，尽量开圆孔。
把构件几何突变处打磨成为圆角是降低应力集中的一种有效方法。汽车修理店在处理开裂的窗户玻璃时，通常会在裂纹的尖端打磨出一个圆孔，降低玻璃的应力集中程度，阻止裂纹扩展。在机械加工中，为了降低应力集中的危害，构件的几何突变处通常要进行倒角处理，如图7所示焊接件的倒角处理。
图7 机械加工中三种典型倒角：斜角 (Mitre fillet)，凹角 (Concave fillet) 和凸角 (Convex fillet)
https://www.rapiddirect.com/blog/fillet-vs-chamfer/
倒角工艺也被广泛应用于产品设计中，在降低应力集中的同时，流线型设计给产品带来了美感享受，成为工业设计的经典元素，如图8所示。
图8 产品设计中广泛使用的倒角网络搜索
这种设计元素也广泛应用于建筑结构中，如9(a)所示巴塞罗那Passeig de Gràcia（大街）的倒角建筑，以及图9(b)和(c)所示纽约的Saks Fifth Avenue和Snøhetta's New Tower。建筑外观上的倒角使用，虽然不像机械产品中，因强度条件必须使用，但在一些意外碰撞、强风等特殊载荷，倒角可起到降低应力集中程度也是毫无疑问的。
(a) 巴塞罗那Passeig de Gràcia（大街）
(b) 纽约Saks Fifth Avenue；(c) Snøhetta's New Tower
图9 建筑中的倒角设计网络搜索
对于由枋与立柱组成的框架结构，有人曾对有雀替和无雀替结构进行过受力对比分析，如图10(a)所示的有限元模型，梁枋与柱为燕尾榫连接。在相同的载荷下，就水平方向的拉应力而言，有雀替的模型中垫块燕尾榫上拉应力最大，说明雀替（垫块为雀替的一部分）发挥了承载作用（不仅仅是装饰）。在梁架上靠近柱头的截面上选择11个节点，带雀替梁的竖向应力明显低于无雀替梁，而且其应力减小速率较无雀替要快（曲线斜率大）。
(a) 无雀替与有雀替框架结构的有限元模型
(b) 雀替可明显降低施加载荷处木架梁的应力值
图10 无雀替与有雀替框架结构的有限元模型模型及应力对比
这一对比不仅说明雀替具有承载功能，还证明了雀替具有降低局部应力的功能，即减少应力集中程度，这很像是机械加工中的倒角功能。
在我国的古建筑中，雀替这一功能结构在演化中融入了极为丰富的文化内涵，如皇家以龙凤祥云表示权力，官人以麒麟祥兽意欲官运亨通，文人以梅兰竹菊表达气节，平民则以花鸟禽鱼、仙鹤、金蟾等祈求平安，或彩绘、或雕刻、或素装，将雀替这一功能构件发展成为精美无比的艺术品，成为古建筑的点睛之笔。
东阳卢宅
苏州民居雀替狮子滚绣球
杭州胡雪岩故居芝园廊檐
鱼雀替
嫦娥奔月
浙江民居
以上图片取自“哲匠之家”，“中国盆栽”等公众号。
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作者注：感谢太原科技大学力学系刘利亭老师对我的帮助和指导！
参考文献
维基百科. https://en.wikipedia.org/wiki/De_Havilland_Comet
腾讯视频. https://v.qq.com/x/page/q3207879f3j.html
张敏. 木结构中斗栱及雀替力学性能研究——以太昊陵统天殿为例. 郑州大学.
冷先平, 王欣欣, 高佳豪. 中国传统建筑装饰构件雀替的形态与文化意蕴研究. 中国建筑装饰装修, 2022(1):2.
来源：力学酒吧微信公众号（ID：Mechanics-Bar），作者：张伟伟。
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