传递函数FRF和FRF估计方法
频率响应函数表征了测试系统对给定频率下的稳态输出与输入的关系。这个关系具体是指输出、输入幅值之比与输入频率的函数关系和输出、输入相位差与输入频率的函数关系，这两个关系称为测试系统的频率特性。频率响应函数一般是一个复数。频率响应函数直观地反映了测试系统对各个不同频率正弦输入信号的响应特性。通过频率响应函数可以画出反映测试系统动态特性的各种图形，简明直观。此外，很多工程中的实际系统很难确切地建立其数学模型，更不易确定其模型中的参数，因此要完整地列出其微分方程式并非易事。所以，工程上常通过实验方法，对系统施加激励，测量其响应，根据输入、输出关系可以确立对系统动态特性的认识，因而频率响应函数有着重要的实际意义。
一、FRF理论及测试
系统在外界激励的作用下会产生一定的响应，对于有阻尼系统来说，在简谐激振力f(t ) 作用下其运动微分方程如下所示。
式中，、 和 分别表示系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，简谐激振力f(t ) 可表示为
其中，简谐激振力f(t ) 可用复数形式表示，复数可以用复数平面上的一个矢量来表示。如下图所示，长度为A 的矢量OP 在实数轴和虚数轴上的投影分别是Acosθ 和Asinθ，故矢量OP就代表了下列复数：
图1 复数的矢量表示法图2 复数旋转矢量
若使OP 绕O 点以等角速度在复平面内逆时针旋转，就成为一个复数旋转矢量（图2）。这一旋转矢量的复数表达式为
根据欧拉公式
则前式可改写成
即，简谐激振力复数表示形式
因为复数激振力和复数响应既是t 的函数，又是ω 的函数，故可令复数响应x(t ) 和复数激振力f(t ) 之比为
H(ω) 即称为频率响应函数或系统的传递函数，其表征的是线性时不变系统输入信号与输出信号之间的关系，是由系统特性确定的参数。若已知系统的频率响应函数，即可通过输入信号求出输出响应信号，这一关系如下图所示。
由上式即可得到频响函数公式，如下
传递函数FRF分为直接法和采用互易法测量，直接法是采用力锤或激振器直接进行激励，加速度传感器采集输出响应，FRF测试的示意图如下图所示。
互易性原理，即在q 点输入所引起的p 点响应，等于在p 点的相同输入所引起的q 点响应。汽车TPA测试在测取空气声的传递函数时，通常采用互易法，在目标点处布置扬声器，在发动机的六个面处布置麦克风。
二、FRF估计方法
以上频响函数公式是在理想的没有噪声干扰的状况下得出的，而在实际应用中输入、输出信号都有可能存在噪声信号的干扰，这将直接影响评估结果的精度。针对这一问题，各种评估方法被研究使用在FRF测试过程中，FRF估计精度与所采用的噪声模型和估计方法是密切相关的。一般来说，可以将系统视作含有输入与输出噪声的系统，如下图所示。
假设一个多自由度系统，有P 个输入力，L 个输出响应，其实测输出力谱f1(ω)、f2(ω)、···、fp(ω)；实测输出响应谱为x1(ω)、x2(ω)、···、xl(ω)。由于实际系统均存在“噪声”干扰，因此在实测信号中均包含着噪声成分。设输入噪声为mj(ω)，j=1,2,···,p；输出噪声为ni(ω)，i=1,2,···,l。系统的真实输入和输出为uj(ω)，vi(ω)。输入、输出及噪声分别用向量表示，则有
多输入、多输出系统的模型如下图所示。
当系统无任何干扰时，第i 点的输出谱为
当系统受干扰时，第i 点的输出可写成
式中，Ei(ω) 为系统第i 点的总体误差，它包括输入与输出的测量误差（由噪声干扰及测试偏差引起的），信号处理误差（如谱分析时的截断误差、泄露误差等），非线性因素引起的误差等等。针对不同情况与要求，有一系列的频响函数估计模型及准则。
1. H1估计
H1是最常用的估计类型，它假设输入没有噪声，输出有噪声。因而，所有的激励力测量都是准确的，但输出响应包含噪声。因此，对N 个响应测量进行最小二乘估计，使得响应中的噪声最小化。由于输入没有噪声，因此在最后计算FRF时，用的是输入-输出的互谱比上输入的自谱。
此估计模型假设系统无输入噪声，即M=0，并且输出噪声与输入信号不相关，此时
式中，X 为输出向量，L×1；F 为输入向量，P×1；H 为频响函数矩阵，L×P；N 为系统噪声向量，L×1。
对上式等号两边分别右乘F H（上角符号“H”表示共轭转置）并求数学期望，可得
式中，GXF 为输入输出之互功率谱矩阵，(L×P)；GFF 为输出之自功率谱矩阵，(P×P)；H 为频响函数矩阵，(L×P)；GNF 为输出误差与输入之互功率谱矩阵，(L×P)。
当输出噪声与输入信号不相关时，
因此，对输出误差与输入信号不相关的频响函数估计式为
2. H2估计
按此模型估计频响函数时，假设只有输入噪声，而且输入噪声与输出信号不相关。此时，估计系统的模型如下图所示。该估计模型是由Mitchell 等人于1982年提出。系统的输出谱与输入谱之间有如下关系
图 频响函数的输入误差估计模型
对上式右乘其共轭转置X H，并取数学期望，同时考虑到输入噪声与输出信号不相关，即它们之间的互谱GXM=0，因此有
故
3. Hv估计
对多输入多输出系统，可根据最小二乘原理，极小化误差矩阵的方法建立频响函数的估计模型。
设实测输入谱向量为F，(P×1)，输出谱向量为X，(L×1)，可得
将上式两边分别右乘各自的共轭转置，得
用功率谱矩阵表示，上式可写成
由于输入输出噪声不相关，因此，上式等式右边最后两项为零，于是可得
设输入噪声功率与输出噪声功率有相同的水平，即设GMM=GNN。则上式可写成
即
式中
矩阵GNN 为误差矩阵，从总体最小二乘估计原理观点出发，频响函数的最佳估计应使误差矩阵之迹为最小。由上式，根据雷利商原理，矩阵的最小迹即为矩阵特征值中最小几个特征值之和，而矩阵U 为对应这些最小特征值的特征向量。据此可得
对矩阵G 进行特征值分解，可得 (P+L) 个特征值及相应的特征向量λr、Ur (r=1,2,···,P+L)。取其最小的L 个特征值，它们所对应的特征向量构成矩阵U，[(P+L)×L]。其上半部为L×L 阶单位阵，其下半部为P+L 阶H H矩阵。由H H的共轭转置可求得频响函数矩阵H，此时求得的频响函数矩阵H 即为最佳估计，称为
估计。它既考虑了输入误差，又考虑了输出误差，而且是在总体最小二乘的观点上求得的，因此估计比及估计具有更高的精度。
这种估计方法的唯一不足就是需要较多的计算时间，但是在目前的计算机技术条件下，这并不构成较大问题。
参考文献
宋海生. 基于扩展OPAX传递路径方法的轻型客车振动控制研究. 吉林大学, 2012.
傅志方. 振动模态分析与参数辨识. 机械工业出版社, 1990.
谭详军.模态空间公众号，细说模态分析四大基本假设
振动运动学，百度文库
来源：声振测试微信公众号（ID：gh_21d5ab08b079），作者：于长帅。
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