从LBM到流体力学的“华山论剑”
三十多年前，LBM横空出世，宛如一位少侠闯入流体的江湖，它方程简洁、天然瞬态、高效并行等优点，让人们眼前一亮。然而初入江湖的LBM由于根基不稳，并未受到名门正派的认可，甚至有学者直言LBM的适用范围窄、精度不够，难堪流体力学的大任。在传统流体江湖中，N-S方程无疑是华山论剑的王者，各方势力无不拜其为宗师，并围绕它建立门派，开枝散叶。而为了证明自己，LBM选择向武林至尊N-S方程发起冲击，也由此开启自己闯荡流体江湖的旅程。
初入江湖的跌跌撞撞上世纪九十年代，从格子气自动机发展而来的格子玻尔兹曼方法 (LBM) 吸引了许多学者的关注，人们开始将LBM应用于流体力学。不过很长一段时间以来，人们普遍对LBM能否反映真实的流体世界心存质疑。于是学者们转换思路：既然大家都同意N-S方程可以描述流体力学，如果能够证明LBM可以复现N-S方程，那么LBM就能够被流体江湖所接纳。
不过由于当时的局限，人们对LBM本身的理解也不够深刻。“投机取巧“成为首当其冲的思路，为了凑出N-S方程，人们想到了“逆向开发”。具体的办法是，针对某种格子构建好离散格式后，对平衡态分布函数进行速度幂指数的多项式反推，并获取合适的系数以近似恢复N-S方程，而后再使用标准案例进行验证。
正如刚到中原的郭少侠由于根基不稳，连欧阳克也打不过，理论不全的LBM此时也有诸多缺陷，比如不满足伽利略不变性（具体表现为在速度场上叠加速度，粘性会变化）、加入能量方程后数值稳定性差、方程形式依赖于格子类型（对于每种格子都要推导出一套参数以恢复N-S方程）等等。因此，早期的LBM并没有严格的复现 N-S方程，更不用说使用系统的方法来建立模型并导出高阶的流体动力学物理。
于是，许多人对LBM产生了一些混乱的描述并流传至今，例如LBM仅对低速、近不可压缩流动有效，无法扩展至稀薄气体等非平衡流等等。甚至有人认为LBM只是花拳绣腿，而不具备成为一门正统武功的价值。
遇见武学宗师虽然江南七怪个个侠肝义胆，奈何水平不行。为了让郭靖成长为一代巨侠，金庸又给他安排了另一个师父——北丐洪七公。洪七公发现郭靖虽然天生愚钝，但是心性淳朴，没有杂念，倒是一个修炼降龙十八掌的好苗子。于是，洪七公一边享受着蓉儿的叫花鸡，一边从头调教着小郭同学。
从动理学理论诞生以来，通过一步步的物理限定，导出宏观描述一直是其核心诉求。统计力学的大神们指出了推导宏观物理的思路：从玻尔兹曼输运方程出发，将速度分布函数对速度进行不同阶次的积分，生成的各阶矩来表征宏观物理量（密度ρ、动量ρu、内能ρε、动量流率张量Pij、分子运动产生的热流Qijk 等）。此时再对方程进行简单的数学变换，借用碰撞的质量、动量、能量守恒的条件，并代入上述的宏观物理量，则可得出类似于流体力学基本方程组形式的方程。
从方程的形式上来看，从玻尔兹曼输运方程导出的方程组与我们熟知的N-S方程组已经很接近了。不过问题在于，该方程中包含有更高阶的矩P 和Q，它们并没有对应的守恒方程，方程组并不封闭，使得更低阶的密度、速度等宏观变量的求解变得困难重重。
此时的LBM仿佛是练了降龙十八掌前十五掌的郭靖，因为少了后三掌还是会被欧阳克嘲笑。于是，蓉儿又开始准备叫花鸡，哄着洪七公赶紧续上全部掌法。
完整的降龙十八掌洪老前辈终于将后三掌教给了郭靖，也开启了郭靖成为大侠的道路。反观LBM，如何处理方程中的高阶矩成为接下来的重点任务。人们不约而同的想到，如果对速度分布函数进行展开并略去高阶项，或许能抓住最重要的物理现象并忽略那些难以求解又影响不大的部分。
于是，大名鼎鼎的C-E展开便成为了降龙十八掌的后三掌。这种方法的思路源于英国数学家Chapman 和Enskog 分别于1916和1917年独立提出的多尺度展开法，因此被称为Chapman-Enskog（简称C-E）展开分析。
在C-E展开分析中，引入努森数作为展开因子，将BGK方程在不同的尺度上展开，并将分布函、导数、物理量等都按照努森数的不同阶次展开。而在此过程中，P 和Q 等高阶矩则可由基本状态变量（低阶矩）和他们的时空导数近似。根据不同阶次的C-E展开，可分别导出欧拉方程、N-S方程，甚至可描述非平衡态的高阶方程。
早期的LBM大多借鉴了C-E展开，并推导出在一定限定条件（小努森数、小马赫数）下满足N-S方程描述的参数。不过C-E展开的过程繁琐，且针对不同的格子类型需要重新推导，非内力强劲者不能完成。另外从上面的分析也可以知道，C-E展开本质上是逐级逼近，而传统LBM的种种不足，大都可归咎于展开不足。就好像降龙十八掌虽强，但是对修炼者的要求过高，导致郭大侠之后便无人能学会完整的掌法了。
九阴真经的奥秘除了降龙十八掌，郭大侠还有一门绝学，那便是周伯通在山洞里偷偷教给他的九阴真经。而为了处理方程组中包含的高阶矩，学者们也找到了另一套方法，即将速度分布函数进行埃尔米特正交多项式展开，再进一步的变形与推导。这种方法于1949年由美国应用数学家Harold Grad在论文《On the Kinetic Theory of Rarefied Gases》中提出，并被称为Grad-13矩（Grad’s 13-moment）方法。
为了理解九阴真经，我们需要先学习埃尔米特正交多项式展开法。大家一定不会忘记在《高等数学》课本里面折磨过我们的傅里叶，他说，任何一个周期性函数都能表示为正弦函数和余弦函数的叠加，而正弦函数和余弦函数便是正交的基函数。同理，一个函数也可由一组正交多项式叠加而成，常用的正交多项式有勒让德多项式、雅可比多项式、切比雪夫多项式、拉盖尔多项式和埃尔米特多项式等。
Grad选择埃尔米特多项式的原因是，其展开系数a(n)正好是速度分布函数的各阶矩，便可直接嵌入到展开的方程中。相比于C-E展开对高阶矩的近似而舍弃，Grad则认为应力张量和热通量与传统的热流体力学变量应平等对待，并通过用 Hermite 多项式展开分布函数，获得了13个最重要矩（密度ρ、速度u、温度θ、应力σij、热通量qi）的一组封闭的偏微分方程，即Grad -13矩方程。
由于加入了更高阶的矩，因此这种描述包含的物理内涵比N-S方程要更多，而基本的流体变量则可通过前四阶展开系数导出，给人们打开了另一种推导宏观物理的思路。不同于降龙十八掌的直接和刚猛，郭靖在修炼九阴真经的过程中，无时无刻不感受到其中的奥妙。
真正的融会贯通不过，无论是Grad -13矩方程还是通过高阶Chapman-Enskog修正获得的方程，都非常复杂零散而难以求解。仿佛许多人修炼了不同残本的武功秘籍，功力虽都有长进但都未能突破瓶颈。而郭靖虽然强行记下了《九阴真经》的内容，不过直到一灯大师助其翻译了梵文部分并加以指点，才实现了真正的融会贯通。所以努力和坚持虽然很重要，但契机却必不可少。
受Grad工作的启发，单肖文等学者提出了一种在速度空间中离散化Boltzmann-BGK方程的新思路，将离散化的玻尔兹曼方程与Grad -13矩系统联系起来。2006年，由单肖文、袁学锋、陈沪东等学者在JFM上联名发表的《Kinetic Theory representation of hydrodynamics: a way beyond the Navier-Stokes equation》一文中，系统阐述了这种方法。
在Grad的方法中，宏观的状态变量由埃尔米特系数确定，进而由速度矩的积分代表。而在这种新方法中，通过引入高斯积分，使得状态变量由分布函数的离散值确定，而如何离散则由高斯积分点确定，从而产生一组更简单的离散方程。而这些方程看似形式上和先前的LBM类似，却有了普适的属性。
在推导过程中，使用了前N阶的埃尔米特展开来近似原始的分布函数，并使用高斯积分求取状态变量。而BGK形式的玻尔兹曼方程的各项也可由埃尔米特展开与高斯积分获取，进而构造不同流体物理范畴的LBM格式。
到这里，估计有不少读者和小编一样，直呼公式太多，影响阅读体验了。不过大伙莫慌，前面的所有内容都是片头，可自行忽略（手动狗头），正剧现在开始。
包罗万象的武功在上述推导过程中，只需将埃尔米特展开进行扩展，并采用足够高精度的高斯求积，就可以构建超出N-S方程的LBM方法。
下表中第一列E的上标和两个下标分别表示高斯积分点数、几何维度和埃尔米特展开截断精度。如表中所示，在同等维度条件下，更高阶的高斯积分意味着更丰富的物理内涵。比如D3Q19模型对等温弱可压缩流体有效，而D3Q39模型则可适用于温度变化较小的超声速流动。
将降龙十八掌和九阴真经融会贯通之后，郭靖也终于实现了从少侠到大侠的蜕变。至此，我们也可以放心大胆的构造我们所需的LBM了。只要给定积分规则，数值模型能够精确的描述特定层级的物理现象。而LBM 中不涉及连续介质假设，使得它在模拟微流动、稀薄气体等非平衡流方面的优势明显，从而大大超出了N-S方程覆盖的范围，堪称包罗万象。
华山论剑后面的故事大家都知道了，郭大侠的武功渐入化境，终于在第二次华山论剑中技惊四座，一举成名。
远古的格子气自动机也终于找到了自己的理论依据。而天下武学是相通的，无论是LBM还是N-S方程，都代表了对真实大量粒子运动的粗化和统计，本质上都是平衡方程，只是描述的层级不同。N-S方程是宏观流体动量的平衡，LBM则描述了介观粒子密度的平衡。
随着LBM算法的兴起，流体江湖的风口也逐渐来临，不过传统势力仍是主流。但无论是何方势力，都是流体势力，相信随着时间的推移，江湖的纷扰终究会如同第三次华山论剑一般，大家握手言和，万剑归宗。
来源：LBM与流体力学微信公众号（ID：LBMCFD），作者：卢比与钢蛋。
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