再谈虎门大桥与塔科马大桥
2020年5月5日，位于广东东莞虎门镇的虎门大桥发生了肉眼可见的上下起伏振动，随后大桥双向车道紧急封闭。由于当时大桥处于维修状态设置了两排水马，专家认为正是水马改变了桥梁的气动外形，当风吹过桥梁时产生了明显涡激振动，从而引起了桥梁较大幅度的振动。拆除水马后，大约20小时后（5日14时-6日12时）大桥振动停止。5月13日专家组经过研判，认为此次振动在桥梁的正常范围之内，没有降低桥梁的承载能力，采取了加装抑流板、内部安装阻尼水箱等措施后，于5月15日9时虎门大桥恢复通车。图1 起伏振动中的虎门大桥
水马是一种用于分割道路形成阻挡的塑制壳体障碍物（如图1中右边红色块状物），上方有孔以注水增重，故称为水马。不可充水的木质或铁质可移动障碍物称为拒马，常见于高速公路、城市道路，以及天桥街道、路口等地方。虎门大桥发生大的振动时，桥梁正在维修施工，桥梁的两侧摆了两排很长很长的水马，这就改变了桥梁的气动外形！
“气动外形”这个词主要是对于飞行器而言的，如导弹、飞机、宇宙飞船等等，气动外形是飞行器安全飞行的重要设计指标。以飞机机翼为例，早期的飞机机翼为了便于制作，大多是矩形机翼，这种机翼翼端较宽，飞行中所受的阻力也特别大。
为此，人们又设计出了椭圆形、梯形、后掠式、前掠式、三角形等多种机翼来减少阻力。实际上，机翼设计除了考虑阻力外，还需要考虑升力、风致振动等特性，优良的机翼外形可在获得良好升力的同时，拥有小的阻力以及获得良好风致振动性能。总之一句话，当结构外形不一样时，即便在相同的飞行条件下，所受到的空气动力也不一样。
图2 机翼的气动外形发展
桥梁设计中考虑气动外形，就不得不提到1940年美国因风而毁的塔科马大桥 (Tacoma Narrows Bridge)。塔科马大桥于1938年开建，1940年桥面建成时工人们就发现有风时桥面会被“吹”的上下波动，因此塔科马大桥得到了“舞动的格蒂”(Galloping Gertie) 的外号。1940年7月，塔科马大桥通车，仅过了4个月，当年11月在一次8级大风（风速64km/h，该桥设计标准是可抗161km/h的狂风）中，发生强烈的周期扭动，最后竟然像纸片一样被撕碎。
图3 倒塌中的塔科马大桥
塔科马大桥的第一设计方案由华盛顿工程师Clark Eldridge设计，他曾设计过Lake Washington Floating Bridge（浮桥），他建议了一种由桁架加固的悬索桥，主体为7.6m高的桁架架构，造价预算为1100万美元（相当于今天的1亿8500万美元）。
图4Clark Eldridge的塔科马设计方案
但不久后，华盛顿的另一位工程师Leon Moisseiff（曾参与了金门大桥的设计与建造）向公共工程管理局 (Public Works Administration) 和复兴金融公司 (ReconstructionFinance Corporation，由联邦政府管理，是塔科马大桥的出资方) 请愿，称他的设计方案可以大幅度的降低预算。1933年，LeonMoisseiff和Frederick Lienhard（纽约港务局的一名工程师）发表了有关悬索桥变形的论文“Suspension Bridges Under theAction of Lateral Forces”，是那些年悬索桥领域最重要的理论进展。这为Moisseiff的设计方案胜出提供了理论依据。
图5Leon Moisseiff的塔科马大桥方案
按照Moisseiff和Lienhard的理论，桥梁主缆的刚度能够吸收大多半的侧向静风压力，这些能量最终被传递给锚碇和桥塔。因此，Leon Moisseiff提出了一种大胆的设计方案，以厚度为2.4m厚的实体梁板取代桁架结构，这将意味着桥梁将更加纤细、优雅，也更加节省成本，只有640万美元。最终，Leon Moisseiff的设计方案胜出，1938年6月23日塔科马大桥正式开建。
图6 悬索桥示意图
表1 1940年海峡大桥参数对比（塔科马桥最为细长）桥面铺装好之后，工人们就发现了大桥在有风（普通风）的情况下就会发生上下波动（undulating noticeably，类似于虎门大桥的波动），当时传闻Leon Moisseiff设计的布朗克斯白石大橋 (The Bronx–WhitestoneBridge，位于纽约)也同样发生了上下波动，针对于塔科马大桥，工程师们采取了一些抑振措施，主要包括三个方面：
· 加固了连接到板梁上的索缆，锚固在岸上50吨的混凝土块中（这一措施事后证明是无效的，索缆在安装后不久就发生了断裂）。
· 增加一对斜拉索，将主缆连接到跨中桥面（这些措施一直到桥梁倒塌也没有损坏，但似乎在减少振荡方面并没用任何用处）。
· 在桥塔与桥面的梁板之间安装液压缓冲装置，以抑制主跨度的纵向运动（在油漆之前，桥喷砂破坏了单元的密封件，液压减震器的有效性大大削弱）。
与此同时，华盛顿收费桥管理局 (Washington Toll Bridge Authority) 委托华盛顿大学工程教授FrederickBurt Farquharson进行风洞试验，他们建立了1:200桥梁模型，不过梁板是1:20的比例，Farquharson教授发现了桥面随不同风速有不同的振动特征。11月2日他们给出了一些减振措施：
· 沿着梁板在侧梁上钻孔，使空气流通以减少空气对桥梁的升力（大家可联想机翼起飞时的升力）。
· 通过在甲板上增加整流罩或偏转叶片，附加到梁筋板上，使甲板的横截面具有更符合空气动力学的形状。
此时，距离11月7日塔科马大桥倒塌还有5天。这些措施还没来得及实施，11月7日上午11时，塔科马大桥在激烈的扭振之后被撕裂，很快塔科马大桥发生了令人难以置信的坍塌。桥梁倒塌时，Farquharson教授也在现场，见证并记录了这座当时世界上第三长的悬索桥壮观倒塌。Farquharson声称，塔科马大桥起初呈上下波动，频率约0.6Hz (36 cycles/min)，1小时后，没有中间任何过渡过程，桥梁的上下波动转变为双波扭转振动。桥梁的激烈扭动将桥梁分成两个部分，频率为0.23Hz (14Vib/min)。“除了垂直波动外，还具有横向扭曲运动”，这是该桥以前没有表现出来的。
图7 塔科马大桥的上下波动与扭转振动
事故发生后，联邦工程管理局 (The Federal Works Administration，FWA) 指派了3名顶级工程专家，他们分别是Othmar Amman, Theodore Von Karmen，and Glen B. Woodruff，对塔科马大桥的倒塌事故进行全面的调查，最后认定是“湍流的随机作用导致了桥梁的倒塌”，并给出了三个关键点：
· 塔科马桥失败的主要原因是其“过度的灵活性”；
· 实心板梁和甲板的作用就像翼型，产生“拖曳”和“升力”；
· 对空气动力的了解很少，工程师需要使用风洞中的模型来测试悬索桥的设计。
图8 进行塔科马大桥事故调查的三人成员
最后一条即成为桥梁“风工程”的来源。当然，这份调查报告的结论并没有解决人们心中的疑问，扭转振动是如何产生的？由于缺乏被大众普遍接受的解释，大批的专家、学者都对塔科马大桥产生了兴趣，提出了各种假设来解释大桥垮塌的原因。其中最为典型的包括以下四种说法：
· 结构失效说：如桥面过于扁平、实体，使得风吹过时桥梁可以像风筝一样摇摆（但视频中看不到）；中间缆绳卡箍滑出，导致缆绳发生多米诺骨牌效应，发生坍塌（实际上去掉一根并不影响结构安全）。
· 共振说：这是联邦报告中提到的原因之一。风产生了周期交替出现的涡（不是涡街），其频率与结构固有频率接近，结构发生共振，振幅越来越大超过桥梁容限从而发生坍塌。但人们始终怀疑自然界随机的风是否可以保持与大桥精准且一致的频率。
· 卡门涡街说：卡门认为涡脱落会产生负压区，当脱落频率与结构频率一致时，从而为桥梁的连续振动提供了动力，并最终发生了破坏。但研究证明大桥的扭转频率与卡门涡街的频率没有任何关系（当时扭转频率约为0.2Hz，涡街频率约为1Hz）。
图9 塔科马大桥坍塌示意图（来源：网络）
· 颤振说：颤振本来是飞行术语，指机翼在飞行过程中，由于流体诱发的一种自激振荡，通常为弯曲、扭转的组合振动，是威胁飞机安全飞行的重大隐患。在许多风洞实验中，颤振可以导致飞机解体。将颤振应用于塔科马大桥上，就是桥梁的变形正好改变了气动力学性能，最后产生灾难性的弯曲、扭转振动，直至桥梁坍塌。基于这种理论，人们认为应该存在一个诱发桥梁发生颤振的临界风速。Rocard (1957) 和Bleich (1948) 曾提出了一种计算诱发桥梁坍塌的临界风速，但后来人们在风洞中对薄板进行研究发现，高风速只增加了竖向的振动但却降低了扭转振动。另一个问题，颤振也无法解释：扭振失稳是在出现扭振之后才发生的，那么塔科马大桥是如何从弯曲振动（上下振动）突然的、没有任何征兆的转变为扭转振动的？
这四种说法，都有一定的正确性，但又都存在某种不足，各自争论，相互借鉴。不过，争论最激烈的要数颤振说和共振说，共振的概念大家都很好理解，特别是“军队整齐划一的通过桥梁引起桥梁倒塌”的典故更加普及了共振说，因此共振也进入了教材，成为了塔科马大家最常见的解释。这引起了支持颤振说学者们的强烈不满，多年来，他们一直在尽各种努力说服人们接受塔科马大桥风毁事故的真正原因是颤振，而和共振无关。
为了说明颤振和共振的区别，我们举一个荡秋千的例子。荡秋千的两种形式：一种是由其他人推动，慢慢荡高；另一种是荡秋千者采用下蹲和站立姿态，将秋千荡高。第一种如果外力频率与秋千频率一致时，秋千振荡为共振，幅值会越来越高直至系统破坏；第二种荡秋千的方法不靠外力，完全依靠自己把秋千荡的越来越高，这被称为自激振动。自激振动也有类似于共振的现象，即以第二种方法荡秋千者站立、蹲下的频率与系统频率一致时，振动幅值也会越来越高直至系统破坏，这就是颤振，颤振也叫内共振（由内力引起的共振）。以下我们重点以第二种荡秋千法解释自激振动和颤振。
荡秋千时，需要不断的改变自己的姿态才能把秋千荡起来，如下图所示，秋千在下降阶段人要下蹲，重心降低，此时重力矩做正功；而在在上升阶段站立，重心升高，重力矩做负功。但由于下蹲时重心低，距离悬挂点远；而站立时重心高，距离悬挂点近，因此一个摆动过程中正功大于负功，系统能量不断增加，秋千越荡越高。
图10 荡秋千 武际可《从荡秋千说开去--漫话共振》
将荡秋千视为自由单摆运动，其控制方程可用一个二阶的微分方程来描述，如：
这里，δ 为阻尼系数。对于正阻尼系统，即δ>0，摆动能量会逐渐衰减，直至停止，这是我们常见的单摆运动。但是，如果δ=0，甚至δ<0 呢？显然，当δ=0时，振动能量不发生衰减，而当δ<0时，振动能量越来越高。从这个角度看，自激振动又被称为0阻尼或负阻尼振动系统。
以第二种方式荡秋千就相当于一个负阻尼系统（振动幅值不减反增）。如果荡秋千者一直保持该频率荡秋千（且需要满足一定的相位差），秋千就会越来越高，越来越高，直到超过悬挂点高度，秋千不再保持单摆运动——这将意味着原来的单摆系统会被摧毁。可见，自激振动在能量足够大时会发生自毁现象，而满足这种自毁条件的自激振动就是颤振。
飞机飞行过程中，气流会导致飞机机翼形状的改变，而形状的改变又会改变气动力的作用效果，这和荡秋千是人姿态的改变最终改变了重力的作用效果本质上是一样的。机翼颤振也称为气动弹性动力学的失稳，荡秋千可以改变下蹲、站立的频率削减颤振，但在飞行中的机翼发生颤振后往往是不可控的，会导致飞机解体。机翼的颤振和荡秋千的颤振区别还在于单摆是单自由度，比较简单；机翼颤振多数情况下是弯曲和扭转都存在的双自由的振动，这就加速了结构的破坏，因此在飞机外形设计中颤振是要极力避免的。
颤振与共振最大的区别在于颤振是由于自激振动产生的，共振是由于外力影响产生的。在上式的右边加上驱动力，如
这里，Fcosωt 称为驱动力，就是外人推动秋千的力，当ω 与系统频率接近了就会出现共振现象。颤振一般写为
与前一式相比，右侧不是外激振力，而是气动力函数，一般是位置与速度的函数。在某些特殊情况下，右侧项也可以为0。颤振被描述为“气动力与弹性结构惯性力、弹性力等耦合作用下发生的振幅不衰减甚至是发散的气动弹性振动”，具有负阻尼系统特性。
虽然普遍认为颤振和共振是两种不同的振动形式，但两者之间也有相似之处。以荡秋千为例，两种荡法都以“人+秋千”作为研究对象，因此第一种可能出现共振（靠外力），第二种可能出现颤振（自激振动）。但是如果第二种荡法中取秋千为隔离体，人对秋千的力就是外力，这就符合了外力推动的结果，就有可能发生共振。也可能是这个原因，颤振也称为内共振。建立塔科马大桥颤振风毁与荡秋千之间的对应关系，如表2所示。
表2 荡秋千与塔科马大桥自激振动的对比荡秋千时，把人和秋千看作是一个系统，人对秋千做功就相当于内力做功，对应到塔科马大桥上，就是扭矩、弯矩和轴力等内力做功。且荡秋千时，外力恒定（只有重力）；但塔科马大桥振动时，外力不仅有重力，还有风引起的气动力，而且气动力比较复杂，它的方向和大小都有可能因为桥梁的变形而发生变化。荡秋千时荡人站立、蹲下的频率与秋千的频率接近时会发生颤振。对于塔科马大桥，就是内力（主要是扭矩）的变化频率与结构的固有频率接近时，也就发生了颤振破坏。不过，从外载荷、振动维数、内力变化上，塔科马大桥都比荡秋千要复杂的多的多！
颤振说很好的解释了塔科马大桥倒塌时扭转频率（约为0.2Hz）与涡街频率（约为1Hz）不一致时的桥梁破坏。但颤振说的一个重要不足是，桥梁最初是上下弯曲振动的，并没有发生扭振，桥梁是如何“突然间”、“没有任何中间过程”由上下弯曲振动跳变到扭转振动，成了塔科马大桥最后一个谜团。
为了解释这一跳变现象，研究人员将非线性模型引入到塔科马大桥中，考虑图11(a)所示的桥梁系统，索缆简化为弹簧，将每个截面考虑为一个杆件，如图11(b)所示，
图11 塔科马大桥扭振的简化模型
以图11(b)中的杆为研究对象，对杆中心写动力学方程：
扭转方向：
竖直方向：
显然，由于驱动力为非线性，上述方程是非线性微分方程，也可以称为非线性系统。Arioli和Gazzola以此为基础，建立了桥梁的二维振动模型
这里，
定义系统的总能量：
取l=1, 画出系统y 和ɵ 的解，如下图12所示。从中可以看出，随着能量的增加，扭转振动的幅值也在逐渐增加。
图12 塔科马大桥中扭转和竖直位移随总能量的变化，黑线为ɵ，绿线为y
以ɛ 为参量，画出相轨迹图如图13所示。显然，该系统的运动状态依赖于系统能量，从低能量到高能量存在状态跳变的特性，属于非线性系统的分岔特性，该结论揭示了系统的振动形式与系统的总能量相关，随着总能量的增加，塔科马大桥就有可能从最初的上下弯曲振动，突然的、没有任何中间过程的，转换为扭转振动。
图13 随着能量不同时扭转角的相轨迹图
但是需要说明的是，颤振公式所给出的非线性模型依然让人不满意，它只是考虑了约束产生的恢复力，并没有考虑梁变形时的内力和气动力，这样虽然我们知道梁的振动形式与梁的总能量相关，却无法获得运动状态与总能量之间的准确关系。
塔科马大桥自1940年发生事故，至今已有80年的历史了，尽管悬索桥在世界范围内成为大跨度桥梁的主流形式，但实际上有关悬索桥涡激振动的问题并没有很好的解决。尽管大跨度桥梁在设计中都会进行风洞实验，但是风致振动仍是桥梁工程中的难点。今年5月虎门大桥的振动可以类似于塔科马大桥的弯曲振动，这也不是孤例，1997年建成的日本东京湾大桥曾出现过振幅高达半米的上下振动；2010年俄罗斯伏尔加格勒过河大桥桥面突然呈浪型翻滚（上下的弯曲振动）；2011年韩国珍岛大桥也发生过类似的振动。这些案例充分说明对于风是如何控制桥梁振动的问题，人们仍然没有得到全部的答案，许多谜题还有待进一步揭开。
这不由得让我想起W.C.丹皮尔在《科学史及其与哲学和宗教的关系》序言中的诗，人类在面对大自然时，宗教尝试着与自然发生感应来理解和顺从自然，但祭坛和祭品并不能减少灾难！圣人与哲学家曾企图构建有关自然界亘古不变的方案，但事实证明这些方案很快就烟消云散了。科学家以一种卑微的身份，在自然面前满足于跑龙套，通过幻想、检验，以碎片化的方式解读大自然，但自然的景象不断变幻，却始终不能揭示出碎片的底细！
……
变化不已的图案在远方闪光；
但它的景象不断变幻，
却没有揭示出碎片的底细，
更没有揭示出字谜画的意义。
大自然在微笑，
却不肯供出她内心的秘密，
她不可思议的保护着，
猜不透的史芬克斯之谜！
作者注：特别感谢武际可老师、王振东老师、张华老师（北航）、王志华老师（太原理工）在完成本文中给予我的无私帮助！
参考文献：
https://www.wsdot.wa.gov/TNBhistory/Machine/machine2.htm
https://www.simscale.com/blog/2018/07/tacoma-narrows-bridge-collapse/
https://en.wikipedia.org/wiki/Tacoma_Narrows_Bridge_(1940)#cite_note-5
https://sites.lsa.umich.edu/ksmoore/research/tacoma-narrows-bridge/
Old and new explanations of theTacoma Narrows Bridge collapse. http://www1.mate.polimi.it/~gazzola/aimeta.pdf
Gianni ARIOLI, Filippo GAZZOLA.Anew mathematical explanation of the Tacoma Narrows Bridge collapse.
H. Ammann，T.V Karman, G. B. Woodruff. The failureof the Tacoma Narrows Bridge
武际可. 从荡秋千说开去--漫话共振.力学与实践, 2004, 25(2):75-78.
刘延柱. 再谈荡秋千——兼谈自激振动. 力学与实践, 2007(03):94-95.
王振东. 卡门涡街——虎门大桥振动的背后推手. 《力学与实践》微信公众号
颜大椿. 湍流、风工程和虎门大桥的风振. 《力学与实践》微信公众号
张伟伟(西北工大). 冯卡门也犯错？大桥振动和卡门涡街到底什么关系？《气动弹性力学》微信公众号
王兴（中山大学）. 虎门桥振: 从结构动力学谈起. 《航空航天结构》微信公众号
来源：力学酒吧微信公众号（ID：Mechanics-Bar），作者：张伟伟 太原科技大学。
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