关于FFT的使用问题（理解频率分辨率、补零问题）
1、Matlab中FFT的调用方法X=FFT(x);
X=FFT(x，N);
x=IFFT(X);
x=IFFT(X,N)
用MATLAB进行谱分析时注意：
(1)函数FFT返回值的数据结构具有对称性
调用方法：
N=8;
n=0:N-1;
xn=;
Xk=fft(xn)
运行结果：
Xk =
39.0000
-10.7782 + 6.2929i
0 - 5.0000i
4.7782 - 7.7071i
5.0000
4.7782 + 7.7071i
0 + 5.0000i
-10.7782 - 6.2929i
Xk与xn的维数相同，共有8个元素。Xk的第一个数对应于直流分量，即频率值为0。
(2)做FFT分析时，幅值大小与FFT选择的点数有关，但不影响分析结果。在IFFT时已经做了处理。要得到真实的振幅值的大小，只要将得到的变换后结果乘以2除以N即可。
2、FFT应用举例
例1：x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t)。采样频率fs=100Hz，分别绘制N=128、1024点幅频图。
代码如下：
clf;
fs=100;N=128;
%采样频率和数据点数
n=0:N-1;t=n/fs;
%时间序列
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);
%信号
y=fft(x,N);
%对信号进行快速Fourier变换
mag=abs(y);
%求得Fourier变换后的振幅
f=n*fs/N;
%频率序列
subplot(2,2,1),plot(f,mag);
%绘出随频率变化的振幅
xlabel('频率/Hz');
ylabel('振幅');title('N=128');
grid on;
subplot(2,2,2);
plot(f(1:N/2),mag(1:N/2));
%绘出Nyquist频率之前随频率变化的振幅
xlabel('频率/Hz');
ylabel('振幅');title('N=128');
grid on;
%对信号采样数据为1024点的处理
fs=100;
N=1024;n=0:N-1;t=n/fs;
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);
%信号
y=fft(x,N);
%对信号进行快速Fourier变换
mag=abs(y);
%求取Fourier变换的振幅
f=n*fs/N;
subplot(2,2,3),plot(f,mag);
%绘出随频率变化的振幅
xlabel('频率/Hz');
ylabel('振幅');title('N=1024');
grid on;
subplot(2,2,4)
plot(f(1:N/2),mag(1:N/2));
%绘出Nyquist频率之前随频率变化的振幅
xlabel('频率/Hz');
ylabel('振幅');title('N=1024');
grid on;
运行结果：
fs=100Hz，Nyquist频率为fs/2=50Hz。整个频谱图是以Nyquist频率为对称轴的。并且可以明显识别出信号中含有两种频率成分：15Hz和40Hz。由此可以知道FFT变换数据的对称性。因此用FFT对信号做谱分析，只需考察0~Nyquist频率范围内的福频特性。
若没有给出采样频率和采样间隔，则分析通常对归一化频率0~1进行。另外，振幅的大小与所用采样点数有关，采用128点和1024点的相同频率的振幅是有不同的表现值，但在同一幅图中，40Hz与15Hz振动幅值之比均为4：1，与真实振幅0.5：2是一致的。为了与真实振幅对应，需要将变换后结果乘以2除以N。
例2：x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t),fs=100Hz，绘制：
(1) 数据个数N=32，FFT所用的采样点数NFFT=32;
(2) N=32，NFFT=128;
(3) N=136，NFFT=128;
(4) N=136，NFFT=512。
代码如下：
clf;fs=100;
%采样频率
Ndata=32;
%数据长度
N=32;
%FFT的数据长度
n=0:Ndata-1;t=n/fs;
%数据对应的时间序列
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);
%时间域信号
y=fft(x,N);
%信号的Fourier变换
mag=abs(y);
%求取振幅
f=(0:N-1)*fs/N;
%真实频率
subplot(2,2,1);
plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/N);
%绘出Nyquist频率之前的振幅
xlabel('频率/Hz');
ylabel('振幅');
title('Ndata=32 Nfft=32');
grid on;
Ndata=32;
%数据个数
N=128;
%FFT采用的数据长度
n=0:Ndata-1;t=n/fs;
%时间序列
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);
y=fft(x,N);
mag=abs(y);
f=(0:N-1)*fs/N;
%真实频率
subplot(2,2,2);
plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/N);
%绘出Nyquist频率之前的振幅
xlabel('频率/Hz');
ylabel('振幅');
title('Ndata=32 Nfft=128');
grid on;
Ndata=136;
%数据个数
N=128;
%FFT采用的数据个数
n=0:Ndata-1;t=n/fs;
%时间序列
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);
y=fft(x,N);
mag=abs(y);
f=(0:N-1)*fs/N;
%真实频率
subplot(2,2,3);
plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/N);
%绘出Nyquist频率之前的振幅
xlabel('频率/Hz');
ylabel('振幅');
title('Ndata=136 Nfft=128');
grid on;
Ndata=136;
%数据个数
N=512;
%FFT所用的数据个数
n=0:Ndata-1;t=n/fs;
%时间序列
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);
y=fft(x,N);
mag=abs(y);
f=(0:N-1)*fs/N;
%真实频率
subplot(2,2,4);
plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/N);
%绘出Nyquist频率之前的振幅
xlabel('频率/Hz');
ylabel('振幅');
title('Ndata=136 Nfft=512');
grid on;
运行结果：
结论：
(1) 当数据个数和FFT采用的数据个数均为32时，频率分辨率较低，但没有由于添零而导致的其他频率成分。
(2) 由于在时间域内信号加零，致使振幅谱中出现很多其他成分，这是加零造成的。其振幅由于加了多个零而明显减小。
(3) FFT程序将数据截断，这时分辨率较高。
(4) 也是在数据的末尾补零，但由于含有信号的数据个数足够多，FFT振幅谱也基本不受影响。
对信号进行频谱分析时，数据样本应有足够的长度，一般FFT程序中所用数据点数与原含有信号数据点数相同，这样的频谱图具有较高的质量，可减小因补零或截断而产生的影响。
例3：x=cos(2*pi*0.24*n)+cos(2*pi*0.26*n)
代码参考上述两个例子，运行结果如下：
结论：
(1) 数据点过少，几乎无法看出有关信号频谱的详细信息;
(2) 中间的图是将x(n)补90个零，幅度频谱的数据相当密，称为高密度频谱图。但从图中很难看出信号的频谱成分。
(3) 信号的有效数据很长，可以清楚地看出信号的频率成分，一个是0.24Hz，一个是0.26Hz，称为高分辨率频谱。
可见，采样数据过少，运用FFT变换不能分辨出其中的频率成分。添加零后可增加频谱中的数据个数，谱的密度增高了，但仍不能分辨其中的频率成分，即谱的分辨率没有提高。只有数据点数足够多时才能分辨其中的频率成分。
本文摘录自万永革主编的《数字信号处理的MATLAB实现》
Resolution=fs/N， so larger N means better frequency resolution.
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