理想流体中声辐射应力的一般表达式
在线性声学范畴，简谐声压的时间周期均值为零。但是，若计及声场的二级非线性效应，则不但平均声压非零，而且存在因动量流而产生的声场辐射作用力，两者之合构成声辐射应力，其中沿声传播方向的分量即为声辐射压力。声辐射压力，是置身声场中的物体所“感受”到的额外压力。本文详细推导了理想流体中声辐射应力的一般表达式。在均匀理想流体中，流体运动服从欧拉方程和连续性方程：
两式中，v是流体质点速度矢量，P是流体压强，ρ是流体密度;三者皆为空间坐标矢量x和时间t的函数。欧拉方程两边乘以密度ρ，连续性方程两边乘以速度v，两者相加并对任意由封闭曲面S包围的空间体积V积分，并利用数学的高斯定理，得到流体的动量守恒方程：
等式左端表示单位时间内体积V内动量的增加，右端是作用在边界S上的压力与流过S进入V的动量之和。声压是单位面积上的压力，具有无方向性，故而可以用压力张量(-PI)来表示。此处 I 非声强，而表示单位张量。单位张量 I 与任意矢量的点积等于该矢量。所以，压力张量(-PI)与有向面积元dS的点积，-P I·dS=PdS，是作用在该面元上的压力，方向与面积元的法向相反。因此，上式积分号下括号内的被积函数可以写成张量的形式：PI+ρvv。
又由于上式右端的封闭表面积分是通过封闭表面作用在流体体积V上的力，张量PI+ρvv就是流体的应力张量，与任意面积元矢量dS的点积(PI+ρvv )·dS是作用在该面元上的合力。在声波情形下，所感兴趣者是声扰动量，包括声压p=P-P0(P0静压)、质点振速v诸扰动量。应力扰动M是应力张量相对于静压P0的偏离，M=PI+ρvv-P0I，即：
对于声波的周期扰动，所感兴趣者乃时间周期均值，如声强者是也。M的周期平均即为辐射应力张量：
注：本文一律采用表达式上的横杠表示时间周期平均。
在一阶近似下，平均声压为零。若再略去上式右端的第二项(是二阶小量)，则辐射应力张量等于零。所以，声辐射应力张量是一个二阶小量，与声能密度ε和声强I一样。要正确地计算辐射应力张量，声压p也须计及二阶小量。要特别强调，在二阶近似下，如声压p等扰动量的时间平均不一定等于零。在作者撰写的《再论声学量的时间均值》一文中，已经导出了用速度势表示的声压表达式：
把上式代入M的周期平均即为辐射应力张量公式，并注意到速度势Φ时间导数的平均值为零，得到如下以速度势表示的辐射应力张量的二阶近似表达式：
此即辐射应力张量之一般表达式。
流体声波是纵波，振速方向沿波传播方向(波矢方向)。从上式可见，在与波矢k相垂直的方向上，无因动量流引起的辐射应力，只存在平均声压引起的辐射应力张量。而在传播方向k上辐射应力张量的分量辐射压力为
其中平均声能密度
所以，辐射压力的方向沿传播方向，大小恰等于平均声能密度。上列平均声能密度的最后等式利用了线性近似关系：
所差者根据以速度势表示的辐射应力张量的二阶近似表达式，不过是更高阶小量，可以忽略不计。
既知辐射压力，可以计算作用在任意曲面S上的辐射力：
式中，dS为大小dS(|dS|)、方向指向曲面S外法向的面元矢量，为沿此法向的导数。根据定义M=PI+ρvv，辐射压力的方向定义为压力的方向，故上式积分前取负号。上式是用实数声场量表示的辐射力。如果声场是时间简谐的，则可用复数表示声场量如速度势，上式因此可简写为：
式中，星号*表示复共轭，k=ω/c0是波数。
对于作用于一个物体上的辐射力，上式的积分面S应是包围该物体的封闭曲面。但是，当声波入射于物体上时，物体的散射造成物体边界面上的声场极为复杂，试图用上式计算作用于散射体的辐射力，难度甚大。为了克服此困难，特取另一包围S的远场封闭曲面S∞，此曲面与物体表面的曲面S一起构成介于两者之间流体的边界：S∞+S。根据动量守恒的事实，辐射应力沿此两封闭曲面的积分应为零，故而
等式左端取负号盖因外法线方向相反之故：在任意曲面S上的辐射力简化公式中积分表面的法线方向指向散射物体之内，而上式中指向S∞之外(即径向方向)。在上式中，声场速度势是远场速度势，可以通过远场渐近近似得到比较简单的公式。一般，S∞为以散射物为中心、半径r(kr → ∞)的球面。
当声场具有(z)轴对称时(如球体对平面波的散射)，仅存在z轴分量的辐射力Fz，上式遂而简为
来源：网易聲之韻博客
作者：王新龍教授，南京大大学声学研究所
页:
[1]