武际可谈丝竹背后谈力学
说实在的，音乐是科学同艺术结合的产物。在人类世代追求音乐发展中出过许多伟大的演奏家、歌唱家、作曲家和乐队指挥家。当人们享受他们的音乐、歌唱、演奏的同时，别忘记，在他们背后还有许多科学家，来揭示声音、音乐和各种乐器的奥秘;在他们的背后有一串伟人的名字：毕达哥拉斯、管子、伽利略、牛顿、伯努利、达朗贝尔、沈括、亥姆霍兹、朱载堉、韦伯等等。音乐背后的科学问题，首先是力学问题。因为声音的产生和传播本身就是一个典型的力学问题，乐器的研制和改进，无论是管乐器还是弦乐器，抑或是其他乐器，都离不开深入的力学知识。进一步说，音乐不仅与力学有关，它是与力学、数学、物理、生理学、心理学、电子学、计算机科学等多学科密切相交叉的艺术领域。不仅如此，就是到今天来说，也不能说在音乐和音响背后的科学道理都完全清楚了。特别是对于研制新的音响设备中，对于歌唱的计算机模拟中，还存在许多困难问题等待研究解决。
要想在一篇短文中谈及音乐和力学关系的方方面面是很难的，因此本文着重就音乐与力学比较密切的关系选几个题目来谈谈。即音高与振动频率关系和发现它的历史。另外由于在乐器中，迄今最主要的乐器乃是弦乐器和管乐器(亦即丝与竹)两类，所以我们要谈一谈这两类乐器发声的规律。最后，我们要谈谈，力学和科学的发展不仅滋润了音乐，而对音乐的研究也丰富了科学研究本身。
音高与振动频率的关系，以及发现它的历史
在弄清楚发声的音高与频率的关系之前，人们都是以弦的长度来度量音高的。弦长一半对应的音高高八度。早在我国的春秋时代，《管子》一书中就记载了“三分损益”的规则，即弦长缩短三分之一，音高高五度，然后再三分后，增长三分之一，就得到比原来高二度的音。如此下去，就得到一系列和谐音。这种标定不同和谐音的关系的方法称为五度相生的规律。在西方古希腊大约同时代的毕达哥拉斯也得到相同的规律。不过，由五度相生的办法，不断生出新的和谐音，这样进行十二次，并没有回复到开头那个音高八度的音，要差一点。
中国明代音乐家朱载堉 (1536-1611) 于万历十二年 (1584年) 首次提出“新法密率”(见《律吕精义》、《乐律全书》)。他将一个八度之间的十二个音所对应的弦长，按照将2开12次方的比例变化，即
12个音中每提高一个音，将这个数值幂次提高一次，它的十二次幂正好是2，按照这种将八度音等分为十二等分的算法，并制造出新法密率律管及新法密率弦乐器，是世界上最早的十二平均律乐器。这才最后解决了这个矛盾。
在中国古代的记载中，宋代陈旸在他所著的《乐书》中说：“凡物动而有声，声变而有音。”在这里，他已经模模糊糊地意识到声音是和物体的运动相联系的。不过把声音和物体的运动精确地联系在一起的第一人，是意大利的科学家伽利略 (1564-1642)，他准确地认识到声音是物体的振动经过空气传播的一种波动。他在1638年出版了《关于两门新科学的对话》，这本书一共给出讨论主题的四次对话。在其中第一次对话的末了，作者首先讨论了由悬挂的单摆的摆动，其后讨论弦的振动以及共振问题。
伽利略是怎样得到这一结论的呢。他是这样说的：
“当我为了除去黄铜板上的某些污点而用一个尖锐的铁凿子刮它，而且使凿子快速地在其上运动，在多次磨划中，我曾一次或两次听到这块板发出一种相当强的和清晰的哨音;更仔细地审视这块板，我注意到一长排精细的条纹，彼此之间平行地和等距离地排列着。用凿子一次又一次地磨刮，我注意到仅当这块黄铜板咝咝地发出噪声时所有的标记才都留在上面;当磨刮没有伴随咝咝声时就丝毫没有这种标记的痕迹。重复这种把戏若干次并且使磨刮的速度时而快时而慢，哨音的声调相应地就时高时低。我还注意到，当音调较高就形成的标记更紧密;而当音调较低沉时，它们就分离得较远。我还观察到，在一次磨刮期间，速度向着极限增加时，声音就变得较尖锐并且条纹变得更密，但总是以这种方式保持一定的尖锐程度和等距。此外一旦磨刮伴随有咝咝声，我就感觉到凿子在我掌握中颤抖并且一种颤栗通过我的手。简单地说，在凿子的情形下我们看到、听到的和在一种低语紧跟着高声的情形下看到和听到的完全一样;因为，当没有产生音调的呼吸进行时，与发声时在喉和咽喉上部的感觉相比，特别是与使用又低又强的音调相比，人感觉不到喉咙或口有任何讲话的运动。
有几次我还在小竖琴的弦中观察到有两根与由上述磨刮产生的两个音调同度;并且在那些音调最不同的弦中，我找到两根弦相差一个纯五度。在测量由两次磨刮产生的标记的距离时，我们发现一次磨刮产生标记的45格包含了另一次的30格，这正好是赋值于五度的比例。”
用现在的语言来说，伽利略是利用凿子与铜板之间的干摩擦所产生的噪音，并且通过凿子的痕迹来考察振动的频率的。不过这个发现是非常了不起的，因为到伽利略写这本书的时候，可以说是在力学的基本理论体系还没有建立之前的事情。而且弹性体的胡克定律也还没有。他完全是从单摆的类比，纯粹是运动学的考查，并且经过切身体验认识到的。
再后来，是英国学者胡克 (Robert Hooke，1635-1703) 他想用一个带齿的旋转轮子，当一张硬纸卡片搁在齿上，而轮子旋转起来时，就会发出声响。当轮子旋转的速度变化时，卡片的振动频率也随之改变，声音的高低也因之发生变化。胡克的这个想法是法国实验物理学家萨伐尔 (Félix Savart，1791-1841) 准确实现。这个实验比较直观地令人信服地验证了声音的高低是取决于振动频率的。伽利略虽然在历史上被公认是最早把声音同振动频率联系起来的学者，不过由于他是从单摆比拟，进而从刀具的磨削痕迹得到的，对于大众来说，并不直观;胡克的想法，萨伐尔准确实现的实验，既直观，又能够直接计算频率，所以才最终确立了声音同振动的关系，并且能够实际地确定音高和频率的定量依从。
弦乐器与管乐器的发声规律
弦乐器发声频率的最基本的要素，是弦长、弦的张力和弦的密度。在相同的张力和密度的弦，其音高就决定于弦的长度。所以小提琴手总是用手指去不断变换弦的振动长度，以奏出美妙的旋律。不过每一样乐器，都有它最合适的长度，这也就决定了空弦上的音高。例如小提琴的空弦长度(或称有效弦长)是328毫米，中提琴的空弦长度是360毫米，大提琴是654毫米。而钢琴上最长的有效弦长弦则有两米多。
法国科学家梅森 (Marin Mersenne，1588-1648) 在1625年左右得到的弦的频率的经验公式：
这是1636年在他的著作《和声学大全》发表的，比伽利略早了两年。不过后来人们研究认定，伽利略的实验实际上是早于梅森的。其中，T是琴弦的张力;ρ是琴弦的密度;l 是弦长。我们看到这个经验公式已经包含了决定弦振动频率的三个主要因素：长度、密度和张力。
在给定弦长后，对弦添加张力，这个张力的大小很有讲究。弦绷得不能太紧，否则像小提琴和琵琶之类的乐器，用手指压弦到指板上或是压弦到品上，觉得有点勒手;太松也不行，这时弦的发音太低，音量也太小。一般小提琴的每根弦的张力大约是7—9千克左右。四根弦的总张力约为30千克。至于钢琴的弦，一共有二百多根，普通钢琴有88个键，并不是每一个键对应一根弦，一般是对应两根或者三根。这么多的弦，再加钢琴的弦有的很长，最长的有效弦长要超过两米。单根弦的平均张力在150千克以上。所以钢琴的弦的总张力大约高达15到20吨。所以如果说像小提琴、琵琶、吉他之类的弦乐器用木料做的琴身一般就能够支持琴弦的张力，而像钢琴、竖琴那样的由多根弦构成的弦乐器，起先也是用木头制作的，后来发现需要用钢铁来制作特殊的支架以保证支持弦的张力。
琴身和支持弦的张力的支架，虽然是够坚硬的。不过在绷上了弦之后，它仍然会有微小的变形。这个变形会给调音带来一点小麻烦。这就是，当你把一根弦的音调好了，也就是说这根弦的张力达到了标准，这时你再去调另外一根弦的张力，不管你是增加还是减少张力，都会影响支架或琴身的变形，以致使已经调好的那根弦张力不再合适，需要重新调。有经验的小提琴手，在调四根弦的音时，并不是一根调好后再调另外一根，而是把四根弦先大致调到松紧程度差不多然后再细调。至于钢琴的调音，因为弦很多，调音要复杂得多，经常需要专业的调音师来调音。
现在来说弦的密度。早期的琴弦，是用生丝或羊肠制成。后来改用金属制造，既结实又容易大量生产。像对小提琴来说，最细的E弦是用裸金属制作的。A、D、G这三根比较粗的弦就不能用裸线了。原因是，在弦的张力松紧程度大致一样的情况下，弦的振动基频是与弦的密度的平方根成反比例的。也就是说，空弦低八度的弦应当直径加大一倍。另一方面由材料力学知道，金属杆直径增加一倍，它的抗弯刚度就会是原来的八倍，因为抗弯刚度是与直径的三次方成比例的。所以如果用裸弦，那么几根低音弦为了密度加大，结果会使弦的抗弯刚度增加得太多。这时，弦将不再体现为柔韧的弦而变得更像一根梁了。
我们知道所有弦乐器的理论基础是达朗贝尔提出的弦振动理论。弦与梁的本质区别是弦不能承受弯矩，即弯曲刚度近似为零。而对于梁的振动，则要复杂得多。它的频率不仅和密度张力长度有关，而且还和端头的固定状态有关。所以为了避免低音弦变为梁，就采用缠弦的办法。方法是在很细的裸金属线外面缠一层细金属丝。这层缠丝只会改变弦的密度，而对弦的弯曲刚度影响很小，还是像细的裸弦一样的柔韧。各种弦乐器的低音弦都是采用缠弦的。
好了，我们已经有了一些合格的，有一定密度，张力合乎要求，也很柔韧的弦了。如果在配上一个好的共鸣体(如小提琴的音箱、二胡的琴筒，吉他阮琵琶和古琴等弹拨乐器的琴身、钢琴的音板等等)，就是一件理想的乐器了。
无论东方还是西方，弦乐器最早都是拨弦乐器，用马尾和琴弦摩擦发声比较晚。不过要弄清楚再弓弦摩擦条件下，弦的运动规律，却不是一件容易的事。这其中最早比较仔细地考察这个问题的人是德国物理学、心理学家、哲学家亥姆霍兹 (Hermann vonHelmholtz，1821-1894)。他是能量守恒定律的发现者，他最早测定神经脉冲的传播速度、重新提出托马斯·杨的三原色视觉说研究了音色、听觉和共鸣理论，他发明了验目镜、角膜计、立体望远镜。他对黎曼创立的非欧几何学也有研究。他在1862年出版《关于作为音乐理论生理基础的音调感觉》(英文译名为On the Sensations of Tone as a Physiological Basisfor the Theory of Music)。这本书是现代音乐心理学的奠基之作。书中他描述弓子在弦上拉动时，弦被拉的地方形成一个折角，这个折角以一定的速度向弦的一端运动，然后再返回。后人把亥姆霍茨所揭示的这种现象称为亥姆霍茨运动。
在探索弓弦运动机理上迈出第一步的是印度科学家拉曼(Chandrasekhara Venkata Raman，1888 –1970) ，就是那位发现光通过介质时由于入射光与分子运动相互作用而引起频率变化的散射，被后人称为拉曼散射，其结果称为拉曼效应的印度人，他因此而获得1930年诺贝尔物理奖。他在1918年发表长篇论文《弓拉弦振动的力学理论》，文中他给出一个简化模型：弦是柔不可伸长的，由两端的张力拉紧，弓子作用点距离琴马为弦长的若干分之一，摩擦系数假定是弓弦相互滑动速度的函数。他用手算给出了弦的一些周期运动，包括亥姆霍兹得到的运动。由于这种模型是非线性的，所以实际上它是关于用非线性理论研究乐器发声的最早的文献之一。
力学和科学的发展不仅滋润了音乐，对音乐的研究也丰富了科学研究本身
讲了这许多，还仅仅是关于弦乐器本身的事情。其实人类被乐器和声音的的现象吸引，由于好奇心驱使得到的收获，远远不能够用这些具体的结果显示。人们从最古老的七弦琴开始，对声音有所了解，发现声音是一种波，后来发现了水波、电磁波、光波。开普勒追求宇宙的谐和发现了行星运动的三定律。后来人们通过弦振动的研究得出一根有限的弦在拨动它时侯只能够产生若干个振动频率。同样电子在绕原子核转动时也只能在若干个能级上运动。它们都是由一个二阶偏微分方程的特征值决定的，前者是弦振动方程，而后者是量子力学中的薛丁格方程。沿着这个思想发展下去，到最近半个世纪，一种以“纳须弥于芥子”气势的“超弦理论”在理论物理中悄然兴起，它的意图是解释宇宙中的一切，以实现爱因斯坦生前未竟的宏愿——统一场论。超弦，无非是高维空间中的一根弦，它的固有振动的状态，就体现了物质的各种基本粒子的形态，能量、质量以及带电量。这种本质上还是由于对弦乐器认识的延伸和更为抽象的想象。可见，从认识乐器出发，你能够触摸到近代科学的最前缘!
参考文献：
H. von Helmholtz: Lehre von den Tonempfindungen.Braunschweig,1862.English edition: On the sensations of tone, Dover,NY 1954
C. V. Laman: On theMechanical Theory of the Vibrations of Bowed Strings and of Musical Instrumentsof the Violin Family, with Experimental Verification of Results - Part 1, Bulletin,Indian Association for the Cultivation of Science, 1918 1-158
来源：武际可科学网博客
作者：武际可教授，北京大学力学系
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