非线性动力学之吸引子：寻找吸引子需注意的问题
吸引子 (attractor) 的种类有多少种呢?维基百科上给出的一个分类是不动点 (fixed point)，极限环 (limit cycle)，极限环面运动 (limit torus)，奇怪吸引子 (strange attractor)。不动点和极限环比较常见，奇怪吸引子因为蝴蝶效应而出名，反倒是极限环面运动很少听说，更常见的说法是环面运动或概周期运动 (quasiperiodic motion)。其实，不动点和极限环的几何结构比较简单，极限环面运动的几何结构相对复杂些，而奇怪吸引子的几何结构则更为复杂，具有多层次性和自相似性。极限环 图片来源：http://www.yvanix.ch/ModularWalkers/index.html
寻找吸引子有几个需要注意的问题：
首先，既然是吸引子，在演化中就应该具有某种不变性，比方说，吸引子内的点总在吸引子内运动。如果吸引子内的点都跑出去了，那还能称为吸引子吗?吸引子除了具有自身演化的不变性，还应该具有对外的吸引性。比方说，随着时间的推移，周围的点会聚集到吸引子上，这个区域就叫做吸引域。这个条件包含了对其稳定性的要求，吸引子应该是在某种意义下稳定的。比方定义一个系统的能量函数，观察在吸引子处是否能量最小;或者直接观察扰动下的运动，是否能回到原来的吸引子上。奇怪吸引子虽然呈现出混沌运动，而且明显存在局部的不稳定现象，我们常说的蝴蝶效应正体现了局部不稳定性。但是它并没有发散，这是因为它内部还存在着折叠和压缩，因而能保持有界运动。
写完吸引子的这两个方面，我联想到了两句话：“天行健，君子自强不息;地势坤，君子厚德载物。”用这两句话总结吸引子的不变性和吸引性，还是比较形象的。
环面运动 图片来源：http://www.geom.uiuc.edu/~banchoff/script/b3d/hypertorus.html
最后需要补充的是，吸引子的定义是非常严格的，还有很多相关的现象不能归入其中，比方中心不动点、不稳定的不动点、半稳定的不动点、不稳定的极限环等。但这些现象对我们认识非线性动力学系统也很重要，它们和吸引子结合在一起，共同描述了丰富多彩的动力学系统。
奇怪吸引子 图片来源：http://www.christianwannerstedt.com/category/3d/#strange_attractor/
参考链接：
http://en.wikipedia.org/wiki/Attractor
来源：本文来自窦苏广科学网博客
原题：结缘非线性动力学之吸引子
作者：窦苏广
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