应用MATLAB计算结构自振频率和振型的一种方法
关文阁 杨黎萌 魏翠玲（河北工程学院土木工程系 河北邯郸 056038） <br><br>【摘要】 本文从质量归一化原理出发，采用MATLAB工具箱中eig函数，推导出一个新的求解多质点弹性体系自振频率和振型的方法。算例表明该方法比传统的雅可比方法更简捷更易于应用。 <br><br>【关键词】自振频率 振型 雅可比法 特征值法 Matlab <br><br>当采用地震反应谱方法计算水平地震作用标准值时，需要求得模型结构的多个主振型及其相应的自振频率（周期）。因此，计算多质点弹性体系的自由振动（包括自振周期、振型等）是进行结构抗震设计的必要步骤。 <br><br>1 基本理论 <br><br>多质点弹性体系的无阻尼自由振动方程 <br><br> (1) <br><br>式中： 为体系刚度矩阵； 为体系质量矩阵。 <br><br>方程（1）左乘 整理后得 <br><br> (2) <br><br>令 则有 <br><br> (3a) <br><br>或 (3b) <br><br>这是一个求特征值和特征向量问题。该方程非零解的充要条件，是它的系数行列式等于零，即 (4) <br><br>式（4）称为方阵 的特征方程。 称为方阵 的特征值或特征根。将所求得的 个 逐个回代到式（3b），解出 , 称为方阵 与 相对应的特征向量，也就是所要求解的第 振型。因此，求解体系的自振频率与振型问题也就是求解方阵 的特征值和特征向量问题。再利用公式(4)求出体系的频率。 <br><br> (5) <br><br>1.1雅可比法 <br><br>雅可比(Jacobi)法可以求解实对称阵的特征值和特征向量。对式(4)首先需要把 作对称化处理。 <br><br>令 <IMG src="http://www.simwe.com/forum/images/smiles/devil_smile.gif"> <br><br>式中 <br><br>则 (7) <br><br>代入式（2），得 <br><br>等式两边左乘 整理后得 <br><br><br><br>即 <IMG src="http://www.simwe.com/forum/images/smiles/musical_note_smile.gif"> <br><br>式中 为一实对称矩阵。矩阵 与 有相同的特征值，但它们的特征向量之间存在式(4)的关系，所以，振型可用式(7)求得，即 <br><br> (9) <br><br>用雅可比方法求解实对称矩阵 的特征值和特征向量的基本原理是，寻找一个正交矩阵 ，使 <br><br> (10) <br><br>式中， 为一对角矩阵。这时矩阵 的 个对角元素就是对称矩阵 的 个特征值；正交矩阵 中的第 列就是与对角矩阵 中第 个对角元素对应的特征向量。所以，雅可比法实际上是运用平面旋转变换的方法消去 矩阵中的非对角元素使其对角化。具体步骤参见文献。 <br><br>1.2本文方法 <br><br>本文采用MATLAB程序中eig函数求 特征矩阵 和特征值 ，应用质量归一化原理对特征矩阵 变形就得到体系的振型矩阵 。再按(5)求得自振频率。 <br><br>由质量归一化 <br><br> (11) <br><br>令振型矩阵 表示为 <br><br> (12) <br><br>把(12)带入(11)得 <br><br> (13) <br><br>式中 表示由质量归一化原理求得，为特征矩阵转化到振型矩阵的系数，为一对角阵。所以，多质点弹性体系的振型矩阵 可按(12)计算。 <br><br>2 算例 <br><br>设计长4m的钢筋混凝土悬臂梁模型。混凝土强度标号为C30，弹性模量 为210 GPa，截面面积A为200×200=40000mm2，重量密度q为25(kN.m-3)。将悬臂梁均匀离散为2单元，考虑横向和转动位移，该单元为四个自由度。用雅可比法和本文方法分别计算其自由<FONT style="BACKGROUND-COLOR: #ffff00"><B>振动</B></FONT>频率和振型。 <br><br>算例中 、 的具体求解见文献，JACOBI法与本文方法所求特征值与特征向量见表１。 <br><br>3 结论 <br><br>本文介绍了求解多质点自振频率和振型的一些方法，并推导出一个新的求解多质点振频率和振型的方法。该方法在理论推导中应用了质量归一化原理，计算中采用了MATLAB程序中eig函数。最后，通过一个悬臂梁算例，与传统的雅可比方法所得结果进行对比，结论表明本文方法具有程序简洁，计算效率快，计算结果精确(可精确到10～15)等优点。 <br><br>表1 本文方法(不迭代)与Jacobi法(迭代9000次)计算结果对比 <br><br>Frequency(1/s) <br>1st model <br>2nd model <br>3rd model <br>4th model <br><br>本文(103) <br>Jacobi(103)迭代6000次 <br>Jacobi(103)迭代9000次 <br>本文 <br>Jacobi <br>本文 <br>Jacobi <br>本文 <br>Jacobi <br>本文 <br>Jacobi <br><br>1.1482 <br>1.1481 <br>1.1482 <br>-0.0478 <br>0.0474 <br>-0.0114 <br>-0.0114 <br>0.0729 <br>0.0731 <br>-0.0340 <br>-0.0339 <br><br>0.3956 <br>0.3126 <br>0.3956 <br>-0.2454 <br>0.2455 <br>0.2147 <br>0.2147 <br>-0.0110 <br>-0.0097 <br>-0.0291 <br>-0.0290 <br><br>0.1170 <br>0.2694 <br>0.1171 <br>-0.1886 <br>0.1892 <br>-0.1123 <br>-0.1123 <br>-0.1010 <br>-0.1000 <br>-0.1001 <br>-0.1001 <br><br>0.0185 <br>0.0186 <br>0.0185 <br>-0.9114 <br>0.9120 <br>-0.2708 <br>-0.2708 <br>-0.1215 <br>-0.1168 <br>-0.0344 <br>-0.0341 <br><br><br>注：上表中Jacobi法所求振型为迭代9000次所得数据。 <br><br>（收稿日期：2003-11-25；Email: guanwenge@sohu.com） <br><br>参 考 文 献 <br><br> 高振世等.建筑结构抗震设计.北京：中国建筑工业出版社,1997 <br><br> 夸克工作室.有限元分析基础篇ANSYS 和Matlab.北京：清华大学出版社2020. <br>[此贴子已经被作者于2005-7-28 9:37:57编辑过]
请问 eig和jacobi方法之间有什么区别啊？
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