单自由度系统的频响函数理论分析
单自由度系统是最基本的振动系统。虽然实际结构均为多自由度系统，但单自由度系统的分析能揭示振动系统很多基本的特性。由于他简单，因此常常作为振动分析的基础。从单自由度系统的分析出发分析系统的频响函数，将使我们便于分析和深刻理解他的基本特性。对于线性的多自由度系统常常可以看成为许多单自由度系统特性的线性叠加。下面我们分别对粘性阻尼和结构阻尼系统的频响函数理论进行讨论，并推导他们的表达式。
粘性阻尼系统 对粘性阻尼系统，假设其阻尼力与振动速度成正比，方向与速度相反，即
系统的力学模型如上图所示。其振动运动方程为：
式中：x及f 均为时间t 的函数
对于自由振动(f=0)，上式可以写为：
其解的形式为：
式中：s为复数;X为不依赖时间的量。
对振动运动方程式两边进行拉普拉斯变换，并假设初始值为0，可得
式中：s为拉氏变换因子;x(s)为x(t) 的拉氏变换，而f(s)则为f(t)的拉氏变换。
对自由振动而言，可得
由上式可解得s的两个根：
式中，ω0=√k/m，系统的无阻尼固有频率;ζ为阻尼比。
ζ为无量纲因子。一般钢结构属于小阻尼，ζ=0.01~0.1，对ζ<1的阻尼称为欠阻尼。
则模态解的形式为：
这是带复固有频率的振动单模态，可分为两部分：
· 虚部(或振动部分)，频率为：
· 实部(或衰减部分)，阻尼比为：
前面的s1 ，s2为共轭复数，他们的实部为衰减因子，反映系统的阻尼;其虚部表现有阻尼系统的固有频率。
模态模型两部分H(ω)的物理意义表示在典型自由响应图中，(如图)
上式中(ms2+cs+k)具有刚度特性，故称为系统的动刚度。在一定的激励作用下，其数值与系统的响应x(s)成反比。他具有阻止系统振动的性质。因此称为系统的机械阻抗，简称阻抗(与电学中的阻抗有类似之处)，现令
其倒数称为机械导纳，简称导纳，又称传递函数。
若对振动运动方程式在付氏域进行变换，即s=jω，则阻抗与导纳公式可写为：
式中，H(ω)又称为频率响应函数，简称频响函数。
位移导纳、传递函数及频响函数都具有柔度的性质，故又称为动柔度。在实际应用上(对稳定线性弹簧质量系统而言)这三个名称并不严格加以区别。
由机械导纳和上式可见，传递函数与频响函数均为复数。上式还可以表示为
式中,称为频率比。
由Z(ω)=k-mω2+cωj 可见，系统的位移阻抗由三部分组成，即质量阻抗、阻尼阻抗及刚度阻抗。他们分别为：
· 质量阻抗——-ω2m;
· 阻尼阻抗——jωk;
· 刚度阻抗——k。
他们的位移导纳分别为各自的倒数，即
· 质量导纳——-1/ω2m;
· 阻尼导纳——1/jωk;
· 刚度导纳——1/k。
上述阻抗与导纳公式均为位移阻抗与位移导纳。若系统的输出为速度或加速度，则同样可得速度阻抗与加速度导纳。对于不同的阻尼器，其阻抗与导纳的表达式亦不同。表1给出了单自由度系统各元件的各种阻抗与导纳的表达式。
大家可以发现表1的规律，若由左边项求右边项时，对阻抗则除jω。对导纳则乘jω;若由右边项求左边项时，则对阻抗则乘jω，对导纳则除jω。
对无阻尼系统，可由
很方便地求出其阻抗与导纳的表达式：
结构阻尼(滞后阻尼)系统 对于实际金属结构，常常不能用粘性阻尼来描述他们的衰减特性。实际结构的阻尼主要来源于金属本身材料的内部摩擦(内耗)及各部件连接界面(如螺钉、铆钉、忖垫等)之间的相对滑移。因此结构阻尼主要由材料内部阻尼与滑移阻尼两部分组成。
结构阻尼的阻尼力fd与振动位移成正比，相对比位移超前90°，即与速度方向相反，即
式中，η为结构阻尼系数，他与刚度k成正比。
式中，g为结构损耗因子，或称结构阻尼比，是无量纲因子。
对结构阻尼系统而言，运动方程可写成
由η=gk，上式可改写为
式中，(1+jg)k称为复刚度。
对上式两边进行拉氏变换，可得
因此传递函数及频响函数分别为
将上式写为实部与虚部
由无阻尼系统的阻抗与导纳表达式和上式比较可见，对粘性阻尼和结构阻尼，频响函数表达式具有相似的形式，只要将与g相互置换，便可得到各自的频响函数表达式。
以上所述的频响函数是位移x为对象推导而得。频响函数还可以用速度与加速度来表示。
其中：
Ha(ω)——为加速度频响函数;
Hv(ω)——为速度频响函数;
Hd(ω)——为位移频响函数。
在实际应用中，由于测量加速度比较方便(主要是传感器的原因)，故加速度导纳应用比较普遍。
与上述三种导纳相对应的有三种阻抗，即位移阻抗(又称动柔度)、速度阻抗(又称机械阻抗)、加速度阻抗(又称视在质量)。他们是相应导纳的倒数。
来源：节选自《振动模态分析与参数识别》
作者：傅志方
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