振动信号数字化处理及所涉及的若干信号处理问题
数字信号处理主要研究用数字序列来表示测试信号，并用数学公式和运算来对这些数字序列进行处理。内容包括数字波形分析、幅值分析、频谱分析和数字滤波。测试信号数字化处理的基本步骤
模数(A/D)和数模(D/A) 1、nA/D转换
采样——利用采样脉冲序列，从信号中抽取一系列离散值，使之成为采样信号的过程。
量化——把采样信号经过舍入变为只有有限个有效数字的数，这一过程称为量化。
编码——将经过量化的值变为二进制数字的过程。
2、信号转换过程
3、A/D转换器的技术指标
分辨率：用输出二进制数码的位数表示。位数越多，量化误差越小，分辨力越高。常用有8位、10位、12位、16位等。
转换速度：指完成一次转换所用的时间，如：1ms(1KHz);10us(100kHz)
模拟信号的输入范围：如，5V，+/-5V，10V，+/-10V等。
4、D/A转换过程和原理
D/A转换器是把数字信号转换为电压或电流信号的装置。
采样定理 采样是将采样脉冲序列p(t)与信号x(t)相乘，取离散点x(nt)的值的过程。
每周期应该有多少采样点?
最少2点：
为保证采样后信号能真实地保留原始模拟信号信息，信号采样频率必须至少为原信号中最高频率成分的2倍。这是采样的基本法则，称为采样定理。
需注意，满足采样定理，只保证不发生频率混叠，而不能保证此时的采样信号能真实地反映原信号x(t)。工程实际中采样频率通常大于信号中最高频率成分的3到5倍。
1、频率混淆与消除频混的措施
某模拟信号中含有频率为900Hz，400Hz及100Hz的成分。
以fs = 500Hz进行采样
此时
但
对于100Hz的信号，采样后的信号波形能真实反映原信号。
对于400Hz和900Hz的信号，则采样后完全失真了，也变成了100Hz的信号。
于是原来三种不同频率信号的采样值相互混淆了。模拟信号中的高频成分被叠加到低频成分上的现象叫频率混淆。
不产生频率混淆现象的临界条件：
消除频混方法：
· 减小Ts
· 在采样前，先用一截止频率为fmax 的滤波器对信号低通滤波，滤除高频成分，然后再进行采样。
信号的截断、能量泄漏 用计算机进行测试信号处理时，不可能对无限长的信号进行测量和运算，而是取其有限的时间片段进行分析，这个过程称信号截断。
为便于数学处理，对截断信号做周期延拓，得到虚拟的无限长信号。
周期延拓后的信号与真实信号是不同的，下面我们就从数学的角度来看这种处理带来的误差情况。
设有余弦信号x(t)，用矩形窗函数w(t)与其相乘，得到截断信号：y(t)=x(t)w(t)
将截断信号谱XT(ω)与原始信号谱X(ω)相比较可知，它已不是原来的两条谱线，而是两段振荡的连续谱。原来集中在f0处的能量被分散到两个较宽的频带中去了，这种现象称之为频谱能量泄漏。
为了减少泄漏，一种方法是可以增大矩形窗的宽度，但这样会增加采样点数和分析时间;另一种方法是设法使窗函数频谱的主瓣加强，旁瓣相对于主瓣尽可能减弱，这就要人为地设计一些特殊的窗函数，用这些特殊的窗函数去截断信号，就能减少泄漏。
信号分析中常用的窗函数有汉宁(Hanning)窗、汉明(Hamming)窗、三角窗、高斯(Gauss)窗等。下图是汉宁窗与矩形窗的频谱比较情况。相比而言，汉宁窗的旁瓣减弱，减少了泄漏，但由于主瓣加宽，使其频谱的分辨率有所降低。
----汉宁窗;……矩形窗
离散傅立叶变换 信号分析的主要理论基础是傅里叶变换，它沟通了信号在时域和频域中的信息。用数字方法进行傅里叶变换，需要在有限观测时间内对连续信号进行采样离散化，采样后将得到一个有限序列{xn}，利用计算机对有限序列进行傅里叶变换，成为离散傅里叶变换(DFT)。
有限序列{xn}的DFT是一个新的有限频谱序列，定义为(N点序列的DFT频谱序列仍为N点)
式中，k为频域谱线序号。
长度为T的连续时间信号x(t)，从t=0点开始采样，得到离散时间序列x(n)为
其中，n=0，1，2，3，……N-1。
Ts→采样间隔;
N→序列长度，N=T/Ts。
fs→采样频率，fs=1/Ts。
采样信号频谱是一个连续频谱，不可能计算出所有频率点值，频率取样间隔为：
频率取样点为{0，Δf，2Δf，3Δf，....｝
Ts→大
Δf→小
fs→低
栅栏效应与窗函数 1、栅栏效应
为提高效率，通常采用FFT算法计算信号频谱，设数据点数为N，采样频率为fs。则计算得到的离散频率点为：
由离散傅里叶变换得到的是离散频谱。离散频谱就象一个栅栏，通过这个栅栏观看原连续频谱时可以发现，在两条谱线之间所应看到的连续频谱中的频率分量在离散频谱中没有被反映出来，从而导致频谱分析的不完全。这种由于频谱离散所出现的现象称之为“栅栏效应”。
如果信号中的频率分量与频率取样点不重合，则只能按四舍五入的原则，取相邻的频率取样点谱线值代替。
2、能量泄漏与栅栏效应的关系
频谱的离散取样造成了栅栏效应，谱峰越尖锐，产生误差的可能性就越大。
例如，余弦信号的频谱为线谱。当信号频率与频谱离散取样点不等时，栅栏效应的误差为无穷大。
实际应用中，由于信号截断的原因，产生了能量泄漏，即使信号频率与频谱离散取样点不相等，也能得到该频率分量的一个近似值。
从这个意义上说，能量泄漏误差不完全是有害的。如果没有信号截断产生的能量泄漏，频谱离散取样造成的栅栏效应误差将是不能接受的。
能量泄漏分主瓣泄漏和旁瓣泄漏，主瓣泄漏可以减小因栅栏效应带来的谱峰幅值估计误差，有其好的一面，而旁瓣泄漏则是完全有害的。
(a)矩形窗函数的谱窗形状 (b)理想时窗函数的谱窗形状
时域波形参数计算 时域波形分析是最常用的信号分析手段，用示波器、万用表等普通仪器显示信号波形就可以得到特征参数。
1、峰值P，双峰值Pp-p
2、均值
3、均方值
4、方差
5、周期T
相关分析及其应用 1、两随机变量的相关系数
上图表示两随机变量x和y组成的数据点的分布状况。
上图可以说两变量是无关的，下图虽无确定的关系，但从总体看，又有某种程度的线形关系，可以说它们之间有着相关关系。
对于变量x和y之间的相关程度常用相关系数ρxy表示
式中：
E：数学期望;
μx：随机变量x的均值，μx=E
μy：随机变量x的均值，μx=E
σx·σy：随机变量x·y的标准差。
又利用柯西-许瓦兹不等式
知
· 当数据点分布愈接近一条直线时，ρxy的绝对值愈接近1，x和y的线形相关程度愈好;
· 当ρxy接近0时，可认为x和y之间完全无关，但仍可能存在着某种非线形的相关关系。
2、信号的自相关函数
设x(t)是某各态历经随机过程的一个样本记录，x(t+τ)是x(t)时移后的样本，在任何时刻t=ti，从两个样本得到两个量值x(ti)和x(ti+τ)，而且它们具有相同的均值和标准差。那么有
将分子展开并由于有
对各态历经随机信号及功率信号定义自相关函数Rx(τ)为
则
· 自相关函数在τ=0时为最大值，等于信号的均方值
· 自相关函数为偶函数
· 周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数其幅值与原周期函数的幅值有关，但丢失相位信息。
求正弦函数的自相关函数，初始相角φ为一随机变量。
式中，T0——正弦函数的周期。
正弦函数的自相关函数是一个余弦函数，在τ=0时具有最大值，但它不随τ的增加而衰减至零。它保留了原正弦信号的幅值和频率信息，而丢失了初始相位信息。
工程应用：
· 区别信号类型
· 检测混杂在随机信号中的周期成分
案例：机械加工表面粗糙度自相关分析
提取出回转误差等周期性的故障源。
工程中常利用自相关函数检测混淆于随机振动中的周期振动。如果自相关曲线不随τ的增大而衰减并趋近于常数值，则表明信号中混有周期信号。
两个各态历经过程的随机信号x(t)和y(t)的互相关函数Rxy(τ)定义为
当时移τ足够大或τ趋于无穷时，x(t)和y(t)互不相关，而ρxy→0，Rxy(τ)→μxμy的最大变动范围在Rxy(τ)之间，即μxμy±σxσy
如果x(t)和y(t)两信号是同频率的周期信号或者包含有同频率的成分，那么即使τ趋于无穷，互相关函数也不收敛并会出现该频率的周期成分。如两信号含频率不等的周期成分，则两者不相关。就是说同频相关，不同频不相关。
3、互相关函数性质
· 不是偶函数
· 在τ时刻取得最大值，τ→∞，ρxy=0，Rxy(τ)→μxμy
· 若不含同频周期分量
· 若含同频周期分量，τ→∞，Rxy(τ)也表现有同频成分
4、信号的互相关函数
对能量有限信号进行相关分析时，按下面定义来计算
案例：地下输油管道漏损位置的探测
功率谱分析及其应用 时域中的相关分析为在噪声背景下提取有用信息提供了途径。功率谱分析从频域提供相关技术所能提供的信息，是研究平稳随机过程的重要方法。
1、自功率谱密度函数
自相关函数的傅立叶变换和其逆变换
定义为Sx(f)的自功率谱密度函数，简称自谱或自功率谱。
若τ=0，则根据自相关函数和自功率谱密度函数的定义，可得到
可见，自功率谱密度函数的曲线下和频率轴所包围的面积就是信号的平均功率。
2、巴塞伐尔定理
在频域中计算的信号总能量，等于在频域中计算的总能量，这就是巴塞伐尔定理，即
式中：
|Sx(f)|：幅频谱密度
|Sx(f)|2：能量谱密度
推论：
工程应用：
(1) 分析信号的频域结构
功率谱：Sx(f)→|X(f)|2
(2) 可分析系统的|H(f)|
3、互谱密度函数
互谱分析的估计
(1) 可利用互谱求系统的H(f)
(2) 可在强噪声背景下分析系统的传输特性
相关函数
来源：湖南大学《振动测试技术基础》PPT
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