混沌：一个还很难确切地下定义的概念
正像给“生命”下定义一样，究竟什么是混沌，这个定义是很难确切地下出来的，之所以这样是因为：至少到目前为止，还没有一个统一的、有足够数学定理支持的、普遍适用和完美的混沌理论，科学家们只能通过混沌系统所表现出的一些普遍现象总结归纳出其所谓的本质。对此，专家们的观点是：
哈肯：混沌性为来源于决定性方程的无规运动。
费根包姆：确定系统的内在随机运动 。
洛仑兹：确定性非周期流。
赫柏林：没有周期性的有序。
钱学森：混沌是宏观无序、微观有序的现象。
......目前，已有的定义从不同的侧面反映了混沌运动的性质。
1、Li-Yorke的混沌定义
Li-Yorke定义是影响较大的混沌的数学定义，它是从区间映射出发进行定义的，该定义可描述如下：
Li-Yorke定理：设f(x是[a，b上连续的自映射，若f(x)有3周期点，则对任何正整数n，f(x)有n周期点。
混沌定义(Li-Yorke)：区间L上的连续自映射f(x)，如果满足下面条件，便可确定f(x)有混沌现象：
(1) f的周期点的周期无上界;
(2) f的定义域存在不可数子集S，满足：
i.∀x,y∈S，当x≠y时，有：
ii.∀x,y∈S，有：
iii.∀x∈S和任意周期点y，有：
根据上述定理和定义，对闭区间L上的连续函数f(x)，如果存在一个周期为3的周期点时，就一定存在任何正整数的周期点，即一定出现混沌现象。用李天岩的话来说，只要有周期3就“乱七八糟”的，什么周期都有。
该定义准确地刻画了混沌运动的几个重要特征：
(1) 存在可数无穷多个稳定的周期轨道;
(2) 存在不数无穷多个稳定的非周期轨道;
(3) 至少存在一个不稳定的非周期轨道。
2、Melnikov的混沌定义
在二维系统中，最具有开创性的研究是Smale马蹄理论。马蹄映射F定义于平面区域D上，F(D)⊂D其中由一单位正方形S和两边各一个半圆构成。映射规则是不断把S纵向压缩(压缩比小于1/2)，同时横向拉伸(拉伸比大于2)，再弯曲成马蹄形后放回中。Henon映射就是马蹄映射的一个实例。已经证明，马蹄映射的不变集是两个Cantor集之交，映射在这个不变集上呈混沌态。因此，如果在系统吸引子中发现了马蹄，就意味着系统具有混沌。
由Holmes转引的Melnikov方法是对混沌的另一种严格描述。概括起来可表述为：若存在稳定流形和不稳定流形且这两种流体横截相交，则必存在混沌。Melnikov给出了判定稳定流形和不稳定流形横截相交的方法，但这种方法只适合于近可积Hamiton系统。
3、Devaney的混沌定义
比较被学者认可的是Robert L. Devancey在1989年从拓扑意义的角度下的混沌定义：
设V是一个度量空间。一个连续映射f：V→V称为在V上混沌，如果：
(1) f具有对初始条件的敏感依赖性。存在δ>0，对任意的ε>0和任意的x∈V，在x的L领域内存在y和自然数n，使得：
(2) f是拓扑传递的。对V上的任意对开集X、Y，存在k>0使得：
(3) f的周期点在V中稠密;
对初始值的敏感性，意味着无论 和 离得多近，在 的作用下两者的距离都可能分开较大的距离，并且在每个点x附近，都可以找到离它很近而在的作用下终于分道扬镳的点 ，对这样的，如果用计算机计算它的轨道，任意微小的初值误差，经过多次迭代后将导致计算机结果的打败。
拓扑传递性意味着任一点的邻域在的作用下将“遍撒”整个度量空间V，这说明混沌系统是不可能细分或者不可能分解为两个在f下不相互影响的子系统。
周期点的稠密性，表明系统具有很强的确定性和规律性，决非混沌一片，形似混乱而实则有序，这正是混沌的耐人寻味之处。
扼要地说，混沌映射具有三个基本要素：不可预测性，不可分解性，另外还有一种规律性的成分。因为对初始条件的敏感依赖性，所以混沌系统是不可预测的;因为拓扑传递性，它不能被细分或者不能被分解为两个在f下不相互影响的子系统(两个不变的开子集合)。然而，在这混乱性态当中，毕竟有规律性的成分，即稠密的周期轨道点。
来源：摘录自《混沌学研究现状与展望》
原文作者：周丽群，西南大学物理科学与技术学院
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