姬扬:力学教学笔记之刻舟求鱼
恭喜!无恶意,请罢斗。——冷谦,明教五散人之一本文讨论了岳东晓提出的“刻舟求鱼”问题,用以说明物理模型之建立、求解、验证及改进等过程,同时还示范了网文的正确写法和引用惯例。力学的重要性毋庸赘言,但我们还是简要地回顾一下历史。自盘古开天辟地以来,力学就是一个高度竞争的科研领域,中国的墨子、鲁班、曹冲,西洋的宙斯、阿基米德,无一不是力学巨擘,东西力学竞争凡几千年,互有胜负。然天行有常,不为尧存,不为纣亡——对不起,书袋掉错了,应该是,东方不亮西方亮,西方有圣人出,西哲伽利略、牛顿出世,中土遂一败涂地、形势不可挽回矣。天不生牛顿,万古如长夜!
“刻舟求剑”乃牛顿前时代的重要发现,几千年来无重大进展,不料在牛顿辞世几三百年后的今天,“刻舟求鱼”出世了。“刻舟求鱼”是一个重要的学术问题,是大学普通物理之力学精确解“刻舟”系列中第二重要的问题,他突破了刻舟求剑的限制,由无生命的剑而入有生命的鱼,是从无机物到生命体的巨大飞跃。
“刻舟求鱼”问题的描述如下:
刻舟求鱼,岳东晓绘
范蠡助越吞吴、功成身退,携西施泛舟五湖,好不逍遥自在。有一天,西施去找她的姐妹西湖玩,留下陶朱公一人在小船发呆。其时春和景明,波澜不惊,上下天光,一碧万倾,陶朱公范蠡闲得无聊,就在小船上向前跳了一下。这一跳,有分教:推出一道物理题,惹来几个网上人。欲知后事如何,且听下回分解。
上回书说到,陶朱公范蠡闲得无聊,就在小船上向前跳了一下——结果就跳出问题了:在跳跃前后,小船的位置如何变动呢?正所谓,人在船中坐,题从天上来。
解决问题的入手点在于建立适当的模型。岳老师的模型如下:
假定(理想化条件):人是质点m;小船是足够长的线段,其质量为M;静水对小船的阻力正比于船的速度;跳离和落回小船为瞬时行为。
描述小船运动状态的微分方程为:
很简单的牛顿第二定律,但是要注意:人跳离小船后的p是,而人落回小船后的p是。根据这个微分方程,考虑到跳离和落回前后的动量守恒,就可以得到他的结论:小船最后回到了原处。正所谓,不管人动还是船动,结果都是没动。岳老师的博文把道理讲明白了,后来文可玲老师也给出了更为详细的数学推导。答案是,重要接受这些假设,小船最后位置不动的这个结论就是正确的。
好了,这么简单的一个问题,就这么解决了。范蠡跳累了,西施回来了,大家也该散伙了。可是没成想,居然掀起了一场讨论的热潮,许多人在博文后点评,好几位还专门写了博客。
为什么呢?主要是因为这个结论有些出乎意外。
简单地考虑两种极限情况:如果没有阻力,那么人和小船这个系统的质心不动,如果人在船上跳了s,那么小船应当移动ms/(M+m);如果阻力无穷大,那么小船就不会动。这个道理很简单,很多人都认识到了这一点,也知道实际情况不外乎在这两个极限之间。出人意料的是,在岳老师的模型里,不管阻力是多大,只要它满足正比于小船速度的条件,小船最后就不会动。
很多人从各个方面指出了小船不会停留在原地,其理由无外乎以下几个方面:
[*]阻力不是正比于速度。当然如此,岳老师早就指出,小船不动依赖于阻力为−kx˙,否则他的结论肯定不成立的——他说的就是这个特殊情况。
[*]比例系数kk依赖于人是否在船上,理所当然,但是,这也不是岳老师考虑的情况,理由如1。
[*]小船返回原地,需要无穷长的时间。确实如此,但也不能否定岳老师的结论。
基本上就这样了——我不知道为什么会搞得这么热闹。如果否定了前提,自然就会否定结论,但那就是另外一个问题了。
其实,这反映了力学学习中的一个重要方面:一个精确的解析结果,对于理解问题是很有帮助的。你改动某个前提,看看结果的偏离,就可以知道这个因素起到什么作用、起了多大影响。模型的作用就在于此。至于说模型与现实是否符合,那就要具体问题具体分析了——但是首先你要保证自己的推导不出问题才行。
本来可以结束了,可是,马红孺老师发现这样一个问题:比例常数k=0的情况和k→0的极限情况是不一样的。这是个很显然的结论,很可能是因为这一点才让很多人参与讨论这个问题的,但是所有的讨论都没有说为什么会有这种不同。即使马老师也只是说,“力学中有相当多违背直觉的现象,反复琢磨,也就慢慢地能接受和理解了,最终成为直觉的一部分。”我觉得这个问题可以稍微仔细地阐明以下。
在岳老师的模型里,比例常数k=0的情况和k→0的极限情况是不一样的。为什么呢?原因是这样的。在前面的求解过程中,都是假定了人跳离和落回小船是瞬时作用,小船的速度突然就改变了,然后再以指数形式衰减。只要承认这个前提,在k→0的极限情况下,小船最后仍然是不动的。然而,人跳离和落回小船这个动量守恒过程不是瞬时的,它有个特征时间τ,否则,瞬时加速度就变为无穷大,不符合物理。妥善地处理这个特征时间,就会消除两种情况之间的不连续过渡这个问题。
我来随便试试吧。假设人脱离小船的速度和加速度都是定值,分别为v和a,那么,τ~v/a,在此时间里,小船行进了:
而在人落回小船的过程中,小船行进了:
这里略去了阻力的影响,因为我们在考虑阻力趋于零的极限情况。这样,小船的移动位置就是:
显然,这与前面提到的无阻力小船的位移:
非常相似。调节a的大小,就可以在两种极限情况下光滑地过渡了。
好了,就到这里吧。
各方面的意见都已表述清楚。其实大家并没有什么分歧,除非你认为关于前提的分歧是分歧。可是,如果不认同前提的话,那就是另外一个物理模型了,与岳老师讨论的不是一回事,当然就会有鸡同鸭讲的感觉了。
其实吧,刻舟求鱼这条鱼只是条小鱼,翻不起什么大浪的。科学网现在很萧条,编辑们只能是“屈法申恩,吞舟是漏”,也就是说,你这条小船被大鱼吞了都没人管,谁还在乎你刻舟以求的这条小鱼?
写到这里,我抬眼看看窗外,只见大雾弥天,不见东西,无分南北,遑论船啊鱼啊的。我多想跳离这漫天的雾霾,化为一条任公子也钓不上来的大鱼,在浩渺无边的北海中遨游:
北冥有鱼,其名为鲲。鲲之大,不知其几千里也。
岳东晓:刻舟求鱼 (配图) http://blog.sciencenet.cn/blog-684007-1020583.html
文克玲:“刻舟求鱼”究竟是怎么回事? http://blog.sciencenet.cn/blog-583426-1021845.html
说到这里,我也是心潮澎湃,忍不住要拽几句洋文,凸显我高大上的学术规范:See KeXueWangBoKe and references therein. 正在自鸣得意之时,边上传来一声怒吼:说人话!好吧,我就说人话,其实就是请你去看看这几天的相关博文而已。
MA HongRu, private communication. 怎么又不说人话了?就是在博文后面的某个评论而已。
马红孺2016-12-17 18:01
这个题目确实挺好玩,博主的分析和计算都很清楚,只是有点违背直觉。其实,力学中有相当多违背直觉的现象,反复琢磨,也就慢慢地能接受和理解了,最终成为直觉的一部分。不过呢,这个题目再深挖一下,还有点更好玩的:如果阻力精确为0,船的位置会变;如果阻力是 -kv, 船将回到原位。 但是,如果k趋向于0, 结果船还是回到原位。阻力趋于0的极限与阻力为0的结果不同!
原文链接:http://blog.sciencenet.cn/blog-1319915-1022055.html。
本文来自科学网姬扬的博客
作者:姬扬
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