姬扬：力学教学笔记之显而易见
凡事总须研究，才会明白。古来时常做题，我也还记得，可是不甚清楚。我翻开课本一查，这课本没有解答，歪歪斜斜的每页上都写着“显而易见”几个字。我横竖睡不着，仔细看了半夜，才从字缝里看出字来，满本都写着两个字是“做题”！我经常说，天底下最容易的三件事就是：读书、做题、写博客。书，写出来就是让人读的；题，编出来就是让人做的；至于说博客，摆明了就是让人瞎扯淡的。任何一个人，只要他愿意，都可以把这三件事做好的，比如说我自己，普普通通、平平常常的一个人，但是，经过几十年的努力，赖祖宗神灵、心手并应，终于也达到了瞎扯淡而从心所欲不逾矩的境界。
我写博文，不过自娱自乐而已。看见有人瞎忽悠，就去拆拆台；轮到自己讲力学，就来码码字。有过客随便问两句，我也就借机掉个书袋子或调侃一下；有网友认真地提问题，我就只能说，学习需要静心读书，网上不是求知之地。其实，无论科普也好，上课也罢，都不能帮助你学习，只能提起你的兴趣，让你愿意自己去揣摩。师者，所谓传道授业解惑者也，然而，这一切的基础都是你愿意学——否则，谈何容易!
话虽然这么说，但我还是要努力一把，说说这中间的奥秘，其实也很简单，那就是：多思、多练、多动手。比如说，力学中经常用到的微积分，其实就是加减乘除而已，只不过先要把处理的对象切个粉碎、然后再拼接起来：切粉碎的好处是只研究很小的、变化不大的区域，拼起来的困难是碎块太多了。只要保持清醒的头脑，知道自己要做什么、正在做什么，其实也不难的——因为物理上用到的函数都是好脾气的，不会故意刁难人，所以，数学的严格证明可以暂时放到一边去。这就是“显而易见”出现的缘由，但是，这是别人的“显而易见”，要想把它变为自己的“显而易见”，还是需要一些努力的。
大学新生往往不适应这种“显而易见”，因为他们已经习惯于“五三”、“全解”等书中详尽的解题步骤。大学课本的内容比中学多得多，使用“显而易见”只是为了不让书变得太厚、太重，另外，也是希望学生不是抄抄书就算了，而是要动动脑子。我们学习的时候，就是要自己吧这些缺省的步骤搞出来，从而检验自己是否真正理解了授课内容。
这么抽象地说，不是很容易明白，还是举几个例子说明一下吧。天体力学中的万有引力问题，可以说明如何把三维积分(多变量微积分)逐次简化，最终变为一维积分(单变量微积分)；流体力学里的质量守恒定律，如何把二维积分和三维积分联系起来，也就是所谓的“内涵都在表面上”；混沌发生的倍周期机制，可以说明体系演化性质对初始参数的敏感性，从而理解“重整化”这样的高大上概念其实是多么的简单，进一步展现微积分的威力。
为了说明问题、但是又不想写太多公式，我们仍然采用了“显而易见”的方法。显而易见的是，此处正文中的“显而易见”也要比课本中的“显而易见”还要“显而易见”很多很多了，然而，距离大学新生的要求，显然还是差得有些远的——缺省的步骤，特别是数学表达式，你应该自己补齐。需要指出的是，你把这三个小问题搞清楚以后，微积分应该是过关了——学习大学普通物理肯定是没有任何问题的了。
物体是有大小的。万有引力公式给出了两个质点的相互作用力，牛顿证明了，均匀球体对质点的万有引力，等于该球体所有质量位于球心处所产生的万有引力。
这是个三维积分问题：从对称性考虑，把直角坐标系x，y，z变为球坐标系r，θ，ϕ，体积微元需要做相应的变换；逆向思考，球体等于球心，意味着球面也必然等于球心，这样就变成了二维积分；对称性考虑，ϕ不出现在积分函数里，这样就变成了一维积分，对θ积分，从0到π；变量代换，把三角函数去掉，积分函数看起来更简单了；查书或者自己凑，得到微分的原函数；最后就是结果了。
物质是不灭的。在某个封闭表面包住的空间体积内，该体积内的物质增量等于流过该表面的物质量的增减。
这是个这是面积分和体积分的相互联系问题：体积内物质的量是个三维积分，涉及到流体密度和体积微元；流入量是个二维积分，涉及到流体密度、速度和面积微元；物质不灭保证了二者必然相等。如果想把积分问题变为微分问题，那么就要把二维积分用三维积分表示出来，这就涉及到散度定理。
散度定理是把边界和内部联系起来。边界总是比内部少一个维度：球体的边界是球面(三维变二维)，圆盘的边界是圆周(二维变一维)，线段的边界是端点(一维变零维)——微积分基本定理：
它说的就是端点和区间的联系。把线段切成足够多的小碎片，当碎片长度足够小的时候，上述定理是显然的，因为它就是微分的定义而已。把这些碎片逐个加起来，内部的分界点总是出现两次，一次为正，一次为负，所以就抵消掉了，只剩下两个端点；而积分是相加的关系，所以也保留下来了。好了，微积分基本定理就这么简单——散度定理只是这个原则的三维实现而已。
把封闭空间且各位足够多的小碎块，当碎块足够小的时候，可以把体积分与相对两个表面的面积分之差联系起来。沿着x方向的两个表面，对应于：
高大上的数学形式就是：
而vy和vz是流不进这两个表面的，因为他们的运动方向不对；同理，沿着y和z方向的那两对表面，对应的就是：
这样就得到了体积微元里的散度公式：
从微元到全体，就很简单了：内部的表面还是出现两次，一次为正，一次为负，所以就抵消掉了，只剩下外部的表面;而体积分只有加法，所以也保留下来了。
决定论是虚妄的。经典力学很伟大，牛顿的功绩长存，有一段时期，人们甚至认为，宇宙中的一切都是决定论的，只要知道了动力学方程和初始条件，所有问题就都解决了，“不需要上帝这个假设”。然后就是来自于两个方面的打击：量子力学说，微观世界是不一样的，最著名的就是测不准原理;混沌理论说，经典力学有可能对初始条件极为敏感，决定性混沌使得长期预言没有了意义。这里介绍混沌产生的倍周期机制。
体系状态的变化通常用微分方程来描述，如果时间不能够当作无穷小量处理，而是有固定的间隔，比如说一天或者一年，那么，就用差分方程描述。
生物种群的演化，不仅依赖于自身的繁殖能力，也受到外界资源的限制——斐波那契的兔子只是理想而已。养殖场里兔子的数量可以用下述微分方程描述：
右边第一项描述了自身的繁殖能力，而且父母越多，子女也就越多；第二项描述了资源的限制，兔子太多了，找不到饭吃，只好饿死了。如果资源没有限制，想生多少就生多少，就会兔口爆炸，生态危机；如果资源限制太大，都生不起小兔子，必然是老年社会，同样也是生态危机。
系统的稳态解就是系统的状态不在随时间变化。这就意味着，微分方程的左边等于零，所以，ax−bx2=0，所以，x=0或者x=a/b。在这两个点附近，可以把x按照小量展开，即，做变量代换，y=0+x或者y=a/b+x，原来的微分方程就可以分别近似表示为：
这都是非常简单的微分方程，它的解分别为：
再把变量代换搞回去，就可以得到两个平衡点附近的解为：
根据a的符号，还可以讨论平衡点附近解的稳定性问题：a>0，则x=0处的解是发散的，而则x=a/b处的解是收敛的；a<0，则x=0的解是收敛的，而则x=a/b处的解是发散的(不幸的是，数量小于零的种群不存在)。这就是我们通常所说的指数式的发散或收敛。
如果时间有固定间隔，问题就会更复杂一些。原来的微分方程变为差分方程：
经过变量代换和系数重整化(也就是重新选了个不同的单位进行)
注意：这里的α不是前面的a，而是α=1+a；而yn也做了变换：
所以，新的数列表达式(也就是差分方程)就不再包含b了。最后，我们又把y换成了x——代数代数，随便代哪个数都可以的。
这样的变换有什么好处呢：首先，x取值归一化了，它只能在(0,1)区间变化；其次，限制了α的取值范围，只能在(0,4)区间变化，因为x(1−x)≤1/4；最后一个好处就是，抄书比较方便(以下介绍基于Peter B. Kahn, Mathematical Methods for Scientists and Engineers: Linear and Nonlinear Systems, John Wiley & Sons, Inc., 1990. Chapter 16, One dimensional Iterative Maps and the Onset of Chaos.)。
显然，这个差分方程也有两个平衡点x*(x*=αx*(1−x*)，即x*=0或者x*=1/α。如果α取值大于4，那么，系统很快就会撞上天花板，然后就是种群灭绝——第二个平衡点也就根本不可能达到了。我们仍然可以讨论差分方程平衡点的稳定性。探讨平衡解是否能够达到，如何依赖于参数α的选择。
顺便说一下，y=f(x)=αx(1−x)与y=x两条曲线的交点，就是平衡点，而且这两条曲线之间的相互转移对于理解以下说明很重要。可惜的是，我不想画图，也不想抄录所有的公式，所以，大家只能是将就着看了。
当0<α<1的时候，只有一个平衡点，x=0，因为y=f(x)=αx(1−x)与y=x只有一个交点。也可以这么看，1−1/α小于0，所以不可能是解。此时的导数f′(x=0)=a<1，所以这里也是稳定的平衡点。
α=1是个临界点。当α>1的时候，f′(x=0)=a>1，x=0不再是稳定点，换句话说，如果xn离0不太远的话，那么，xn+1就会变得远一些，而xn+2就会变得更远一些，直到它远离0。此时，有了第二个平衡点，x=1−1/α，该处的导数为f′(x=1−1/α)=2−α。又要继续处理几种不同的情况了。
如果1<α<3，那么该点的导数绝对值仍然小于1，它就是稳定的平衡点，经过足够多次数的迭代，数列就会收敛1−1/α。
如果α>3，就有些麻烦，两个平衡点都稳定了。如果你不小心离其中一个近了，就会被踢开，离另一个近了，也会被踢开，成了个没人疼没人爱的讨厌鬼。怎么办？天无绝人之处，只要你运气好，α比3大不了多少，你可以自己跟自己玩，出现所谓的倍周期：先是f(p)=q，然后是f(q)=p，每两次就回到原来的位置了。换句话说，g(x)=f(f(x))就有了平衡点，而且是两个(p和q)。
对于这两个平衡点，又可以分析他们的稳定性了——碰巧的是，对于
这两个平衡点都是稳定的。显然，这两个点的稳定性是相同的，因为他们的导数：
——这就是链式法则啊。简单抄录一下，这个新的稳定区间(倍周期稳定区)是怎么得来的：
1. 变量代换z=1−1/α+x，也就是说，现在以(不稳定的)平衡点1−1/α作为零点了。差分方程就变为：
2. 求出倍周期的平衡点p和q。由f(p)=q和f(q)=p，可以得到：
3. 求出平衡点的导数。
限制这个导数的绝对值小于1，就可以得到新的稳定区的参数区间。
4. 步骤1-3碰巧给出了严格解，也可以做一个简单的估计。差分方程做两次迭代以后，可以得到：
其中的O()代表zn−1的三次方项和四次方项，把它忽略掉，并再做一个尺度变换，可以得到新的差分方程：
这类似于以前的差分方程，唯一的差别在于α被(2−α)2替换了，前者的稳定区间是1<α<3，所以后者的稳定区间就是1<(2−α)2<3，即
这就是重整化的思想，虽然这里只是一个很糟糕的估计。
5. 还是接着步骤3来吧。当α满足以下条件时
p和q不再是倍周期的稳定平衡点了。再次做变量代换，把零点移动到(比如说)p点，即zn=p+vn，以后，两次迭代后的差分方程(经过了类似于步骤4的处理)是：
这个差分方程类似于步骤1中的：
再做类似于步骤4的类比，因为2−α对应的稳定区是：
就可以得到，(4+2α−α2)对应的稳定区是：
这就是四倍分岔的稳定区间。需要注意的是，这是估计值，因为前面的差分方程只保留到二次方项目，忽略了高次方项的贡献。
6. 如此进行下去，就可以得到8倍分岔，16倍分岔等等。分岔出现的间隔越来越短。由此还可以估计著名的费根鲍姆(Feigenbaum)常数。
7. 类似的考虑，可以用来处理三周期点，即f(p)=q、f(q)=r和f(r)=p。“周期三意味着混沌”(Li-York定理)，李天岩没有白姓李，确实领会到了“老子一气化三清”的奥秘。其他的奇数周期当然也可以类似地处理。
好了，就到这里吧。我不抄了！抄书也这么累，烦死了。更要命的是，没法说俏皮话，因为写书的人都是一本正经的老古板!
但是也有个好处——我从另一个方面证明了：天下最容易的事情是读书、做题、写博文了。你看，连抄书都比他们困难多了，我没有骗你吧!
PS：
其实，我对数学并不反感，如果高兴了，我也可以用很多数学。不过我说了好多次了，写博文就是为了消遣，没必要在网上谈数学、更别说严格地使用数学了。
关于混沌动力学这个主题，有本中文科普书讲得很好的，那就是郝柏林的《从抛物线讲起：混沌动力学引论》。推荐大家抽空看看，不过先打个预防针：那里的跳跃步伐就更大了。比如说，里面偶然提到了彩虹的形成机制，郝老师他是这么说的，
为了得到正确答案，我们需要出射角θ和瞄准距离x=δ/R的函数关系，一位爱好物理的高中毕业生应能推导出下面的式子：
以上原文链接：http://blog.sciencenet.cn/blog-1319915-1020733.html。
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作者：姬扬
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