姬扬：力学教学笔记之量纲分析
一法度衡石丈尺，车同轨，书同文字。物理量与数学量最大的不同在于，物理量不仅仅是数字，它还有单位。描述物理量的单位就是某个基准，而描述物理量的数字就是该物理量与这个基准的比值，比如说，3米、5千克和9秒。即使角度这样的“无量纲”量，也有单位，碰巧约掉了而已：单位长度的圆弧所对应的圆心角就是1弧度，其单位就是“米/米”，所以就约掉了。
对物理这门课程不太熟悉的人，往往忽视了“物理量都有单位”的重要性，套公式的时候就会出现“驴唇不对马嘴”的情况。检验公式两端的单位是否相符，是发现错误的重要步骤。单位的换算就更不用说了，很多惊人的结论都是因为用错了换算系数。现在的大学普通物理教学都采用国际单位制(SI)，力学中就是用千克、米、秒作为基本物理单位，以前的克、厘米、秒已经用得不多了，更别说相关的导出单位了——比如说，你再也不用记住1牛顿等于10⁵达因这样的力学换算关系了。
(1N=1Kg⋅m/s2=10⁵dyn)
“物理量都有单位”，不仅可以用来检验公式的对错，还可以用来分析物理问题，这就是所谓的量纲法(或者量纲分析)。找出物理问题所依赖的主要参量，把它们组合起来表示你感兴趣的物理量，往往有助于理解和分析问题。
这么说有些太抽象，还是举几个例子吧。
量纲法可以猜测三角形的面积。三角形ABC的边长为a、b、c，内角为α、β、γ。因为面积的单位为m2，而长度的单位为m，那么就可以猜测三角形的面积为S=a⋅b⋅f(γ)（边角边）或者S=a2⋅f(α,β)（角边角）。碰到了海伦公式你也会知道，至少从量纲上来看，这个公式没什么问题。海伦公式如下：
勾股定理太重要了，可是很多人都不会证明——某年高考就出了这样的一道证明题，据说难倒了95%以上的考生。如果说勾股定理有一百种证明方法，那么量纲法就是第一百零一种。从直角三角形ABC的直角顶点向斜边做垂线，这样就得到了三个直角三角形，它们的斜边边长分别是ABC的三个边长为a、b、c，两个小三角形的面积正好等于大三角形的面积，所以，根据上面的角边角公式，就可以得到：
其中，α+β=π/2，约去公因数，就得到了勾股定理a2+b2=c2。
这些都是数学问题，再说几个力学问题吧。浮力F是个力，单位为N，涉及到重力加速度g、液体的密度ρ和物体的体积V，这三个因素组成力的单位，只能是(ρ⋅V)⋅g，碰巧就是浮力的公式F=ρgV。同样的方法可以得到流体压强的公式P=ρgh。高空落物的速度v(单位为“米/秒”)，涉及到的因素有重力加速度g(单位为“米/秒平方”)和高度h(单位为“米”)，gh组合起来的单位正好是“米平方/秒平方”，所以，可以猜测
当然，确定系数a等于根号2这件事，量纲法是无能为力了。
这些例子都太简单了，还是举个单摆的例子吧。单摆的周期T(单位为“秒”)，依赖于重力加速度g(单位为“米/秒平方”)和单摆的长度L(单位为“米”)，也许还依赖于摆锤的质量m(单位为“千克”)、最大摆动角度θ(单位为“1”，也就是无量纲)和单摆的总机械能E(单位为“焦耳”)。L/g组合起来的单位是“秒平方”，所以，可以猜测：
中学物理告诉我们，a=2π正好对应着小角度摆动的单摆周期。对于角度θ比较大的时候，我们可以猜测a=2π(1+bθ2+cθ⁴+⋯)，没有奇数幂的原因在于单摆无所谓左右。另一种考虑方式是猜测a依赖于能量，那么E/mgl是我们需要的无量纲量。
显然，这不过是前面那个式子的变种而已。
利用量纲法，还可以求解细杆的转动惯量、水波的性质、圆棒弯曲时的应力分布，乃至利用开普勒第三定律推断万有引力的性质。这些还都是小儿科，展示量纲法威力有个最著名的例子：泰勒(G. I. Taylor)推断了第一颗原子弹的爆炸威力。
原子弹爆炸时，瞬间释放了大量的能量E，从而加热了周围的气体，使之膨胀、形成了冲击波(也就是巨大火球的边界)。涉及到的参数有火球半径r、时间t(爆炸时刻为时间零点)、空气的密度ρ，还有气体的定压比热和定容比热(实际上只依赖于这两者的比值γ)。做些排列组合，可以发现
这里不是等式，只是为了演示量纲的传递，也就是说：
美国军方于1947年公布了原子弹爆炸后火球随时间扩散的一系列照片，泰勒就利用这个公式，立刻推算出了原子弹的爆炸当量——这是完全没有公布的核心军事机密!
上面这些例子不过是量纲分析的皮毛，只能让你感受一下它的能力。不仅是力学，物理学的各个学科分支都会用到量纲分析，在流体力学中尤为突出，马赫数、雷诺数、普朗特数，都是描述体系性质的重要参数，这里就不详细说明了。
关于量纲法的更加严格的分析和处理(比如说，其理论基础“Π定理”的具体陈述和证明)，请参阅赵凯华《定性和半定量物理学》的第二章“量纲分析和标度律”，或者谈庆明《量纲分析》，他们还给出了很多的应用例子。
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来源：科学网姬扬的博客
作者：姬扬
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