齿轮非线性振动研究综述
洛阳工学院 杨宏斌 邓效忠 西北工业大学 高建平 方宗德 摘要 评述齿轮非线性振动的研究理论、热点、难点及研究方法，提出研究曲齿锥齿轮及准双曲面齿轮非线性振动的模型建立方法及研究方向，提出使用灰色控制理论解决齿轮抗振问题的思想。关键词 非线性 振动 齿轮 灰色控制
1 研究齿轮非线性振动的意义
曲齿锥齿轮和准双曲面齿轮是最为复杂的齿轮传动。在航空、航天、交通、机械和仪表制造等各个工业部门获得广泛的应用。齿轮机构朝着高速、重载和低重量的方向发展。由于结构质量的减轻、传递功率的加大，使得系统的激振力增大，甚至动态系统中还包含引起强烈振动的高能动力源。到目前为止，这种质量和阻尼减小而激振力增加的趋势仍在不断扩大。齿轮系统的振动不但会产生噪声和导致传动系统的不稳定，而且会使传动系统失效而发生严重的后果，因此对齿轮装置动态性能的研究倍受关注。
对于曲齿锥齿轮和准双曲面齿轮动力学的研究，不仅能够对齿轮系统的振动机理有全面的了解，从而设计出平稳性好和噪声低的齿轮系统，而且动应力水平的降低将提高齿轮系统的可靠性和使用寿命。在故障诊断方面，由于裂纹和齿轮刚度、传动误差与齿面的破坏均有密切关系，因此，动力学研究将对其频谱机理的分析有重要意义。
2 齿轮非线性振动研究热点及存在问题
2.1 几何与力学
40年代Wildhaber和Baxter对曲齿锥齿轮和准双曲面齿轮的发展做出了卓越的贡献。自那时以来，Gleason公司的机床调整卡、齿面接触分析及后来由Krenzer提出的加载接触分析、边缘接触分析以及有限元分析等内容引起了各国学者的关心和探索。这方面的内容成为在曲齿锥齿轮和准双曲面齿轮几何和力学研究的主要内容。在对Gleason技术研究的同时，推动了齿轮啮合理论的发展。Litvin脱离了Gleason的计算原理提出了局部综合法。吴序堂和王小椿从另一途径也得到一个类似的方法。对曲齿锥齿轮和准双曲面齿轮设计和加工理论作出最重要贡献的是我国学者王小椿的三阶接触理论。在曲齿锥齿轮齿形设计方面，梁桂明提出了“非零变位”的思想。它突破了传统设计在选取变位系数时只能进行高度变位的限制，可按照一定的啮合性能优选变位系数。这就给曲齿锥齿轮和准双曲面齿轮变位系数的选取提供了较为自由的空间。譬如，为了降低振动和噪声可选用负变位，以增加轮齿的柔性和重合度。在力学方面，郑昌启和Litvin分别给出了一个加载接触分析方法。另外，还必须提到的是Litvin从几何学上提出了一个预先的抛物线误差函数去吸收振动的概念，并将其与局部综合法总结成一个方法学。
2.2 动力学
在曲齿锥齿轮和准双曲面齿轮结构动力学方面，特别是在曲齿锥齿轮行波共振方面已有较深入的研究，但关于曲齿锥齿轮和准双曲面齿轮系统动力学方面的文献很少，方宗德在1994年给出了一个计算准双曲面齿轮传动动载荷的方法。在直齿轮和斜齿轮系统动力学方面，文献很多，而且近年来这方面一直是研究热点。虽然曲齿锥齿轮和准双曲面齿轮与圆柱齿轮差别很大，但从方法学上来说圆柱齿轮动力学仍有很大的借鉴意义，因此，我们主要对直齿轮和斜齿轮进行评述。
(1)含有时变刚度和传动误差的振动方程
涉及齿轮载荷的研究可追溯到2个世纪前，但首次对齿轮动力学进行系统研究是以20年代Ross在美国齿轮制造期刊上发表的“高速齿轮”一文为标志的。第一个齿轮动力学振动模型是由Tuplin在1950年提出的。随后相继出现了若干振动模型，在这些模型中考虑了齿形误差、时变刚度等参数激励。1959年Attia给出了一组直齿轮的动载荷实验结果。60年代后，在齿轮动力学理论和实验上取得了大批成果，理论研究主要集中在建模、激励项和求解技巧等方面。
(2)具有间隙的齿轮动力学
直齿轮在刚性支承和忽略输入输出惯量的假设下，可以精确简化为单自由度振动方程。这个振动方程包含了时变刚度、传动误差和间隙函数。间隙的存在使得振动现象更为复杂，并产生极大的噪声和动载荷，特别是轻载噪声。Comparin和Singh在1989年提出了一个单自由度常刚度(等效刚度)具有间隙振动的数学模型，并用谐波平衡法求解。虽然这个方程只取了谐波的一项，但其解可区分出单边冲击、双边冲击和无冲击的情况，并对微分方程数值解的稳定性进行了分析，指出了频响曲线在给定频率时响应可能的多值性。Kahraman和Singh在1991年求解了一个具有间隙且包含传动误差参数激励的振动方程。虽然这个模型仍是常刚度的单自由度模型，他们用谐波平衡法求解，发现了跃迁频率、亚谐波共振及混沌现象。这些现象的出现与平均载荷、交变载荷、阻尼及间隙有关，并且指出，各种冲击区与平均载荷有关。他们还给出了一个完整的数值积分初值图，解决了数值积分求解方法上的困难。同年，Kahraman和Singh建立了一个同时考虑齿轮间隙和轴承间隙的三自由度方程，他们进一步将上述的单自由度模型和三自由度模型中的常刚度改为时变刚度，并用多尺度法求解。1995～1997年，他们又将时变刚度、间隙函数、传动误差和外激振力展成为多项谐波，用谐波平衡法求解。Padmanabhan和Singh1995年基于打靶法提出了一个求解非线性微分方程的参数连续法，该方法将微分方程周期问题的求解用打靶法变为非线性特征值问题的求解，然后用连续法求解这组参数的非线性方程。这是一个很好的方法，它可以用于少自由度的情况。他们后来用这一方法分别求解了具有间隙的离合器问题，并发现了更多的非线性现象如分岔、亚谐波、准周期解和混沌解等。这种方法在少自由度的情况下是比较有效的，对于多自由度的情况尚需进一步探讨。Kahraman和Blankenship1997年给出了一个具有间隙、周期时变参数和外部激励联合作用的非线性系统振动的实验结果，证实了跃迁现象和亚谐波共振和混沌现象的存在，并给出了一个形成奇怪吸引因子的poincare图。
以上是具有间隙存在的非线性方程求解方法发展的主线。另外，其他学者也作了许多很好的工作，如Amabili和Rivota1997年提出了一个低接触比且具有时变阻尼的单自由度振动模型。Cai在1995年通过引入新的刚度函数建立了一个单自由度斜齿轮振动模型。许多力学和数学工作者也对间隙非线性问题进行了研究，如Lau和Zhang用增量谐波平衡法，霍麟春和李骊用三变量迭代法求解了间隙振动问题。这些方法都是很巧妙，但直接用于齿轮系统还有很多困难。
齿轮修形是降低振动的一个最重要的手段。方宗德1992年提出了斜齿轮三维修形的优化方法，Lin在1994年提出了一个线性和抛物线齿廓修形方法，Yoon和Ran在1996年提出了一个三次样条修形方法。
(3)多自由度振动模型
齿轮动力学的模型建立可分为2类：一类是上节叙述的单自由度和少自由度模型，这种模型求解方法可以比较精细，以便了解非线性振动的更多物理现象。另一类是多自由度模型，这种模型通常忽略了间隙的存在，且求解方法大都为近似的线性化方法，以期了解总体的振动特性。有关斜齿轮多自由度振动模型，最具代表性的是Blankenship和Singh(1995)及Velex和Maattar(1996)建立的14个自由度的非线性模型。在Blankenship和Singh的模型中，用了3个位移坐标和3个转动坐标来控制齿轮位置，并用同样6个微振动坐标来控制相应方向的振动，总的振动方程较为复杂。在Velex和Maattar的模型中，考虑了齿形偏差，安装误差和轮齿变形对振动的影响。方程建立的思路很清晰，想法也很好，是一个很好的斜齿轮动力学模型。多自由度非线性问题的求解主要是数值积分法和使方程线性化后使用线性振动的一些方法。数值积分法是一种广泛被采用的求解方法，它的主要困难在于全部稳态解初值的选取，对于一个大自由度系统，获得一个较大范围的初值图的工作量是巨大的。另一方面还有解的稳定性、多值性及在求解系统周期解时，在接近转折点或分岔点时收敛速度会非常低等问题。近似的线性化方法可以使得求解非常方便，但其代价是丢失了许多有价值的解。
3 研究方向及建议
3.1 曲齿锥齿轮和准双曲面齿轮非线性振动的研究方向
(1)单自由度方程的建立
只考虑扭转振动，建立曲齿锥齿轮和准双曲面齿轮的单自由度方程。在此方程中还考虑间隙和传动误差的影响。此时简化后的等效刚度、等效阻尼及等效外力均为时变的。单自由度的方程虽然比较简单，但很容易得出各个参数对系统振动的影响水平。
(2)多自由度微分方程的建立
建立包括间隙、传动误差和时变啮合刚度的多自由度微分方程。这个方程中还包括支承及输入输出转动惯量，以期全面研究结构对系统振动的影响。
(3)统一方程的建立
建立一个几何、力学和动力学统一的方程。它架起了力学和几何研究相联系的桥梁。该方程中至少应包含齿形几何误差、轮齿变形及安装误差等，以期使齿轮系统的承载能力及振动应力水平等指标达到最佳。
(4)非线性振动微分方程解法的研究
由于曲齿锥齿轮和准双曲面齿轮几何和力学上的复杂性，求解由此建立的微分方程十分复杂。目前求解单自由度微分方程主要有谐波平衡法和连续参数法等。求解多自由度微分方程主要有线性化法、连续参数法等。这些方法各有优缺点，因此需要进一步研究更有效的非线性方程的解法。
3.2 曲齿锥齿轮和准双曲面齿轮抗振问题研究方向的建议
鉴于曲齿锥齿轮和准双曲面齿轮几何和力学上的复杂性，曲齿锥齿轮和准双曲面齿轮的抗振问题研究可从多方面进行。
(1)齿形设计
以齿轮某一啮合性能为目标进行优化，使齿轮的啮合性能达到最佳。譬如，使用“非零传动”技术，可对变位系数进行优化，增加齿轮啮合时的轮齿重合度，从而达到抗振的目的。
(2)系统学
对于一个确定的齿轮传动系统，参与啮合的齿轮对数、齿数、轴承及轴的几何参数等虽然是已知的，但各因素之间的关联程度及其对振动的影响程度则是未知的，所以适合用灰色系统理论加以研究。还可用TCA、LTCA或实验结果作为验证。
(3)加工
以齿轮的传动误差为目标，对初算的齿轮加工参数进行优化，使齿轮在啮合时的冲击最小，从而达到抗振的目的。
选自《中国机械工程》
转自：http://blog.sina.com.cn/s/blog_498096e5010003bm.html
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