有关齿根弯曲应力及其在有限元结果中的提取的讨论
齿轮弯曲应力在有限元结果中的提取搜索坛子里有关弯曲应力的提取问题不在少数，而很少有个解释。这里只是个人瞎琢磨的，如有更好方法，还请大家赐教；如果认为错误，恳请大家斧正。在有限元结果中我们经常回避弯曲应力的提取这个问题。首先，很少碰到恰恰就是材料力学中标准的悬臂梁的情况，此时危险截面及正应力方向均容易确定；其次，由于对于弯曲强度的评价以正应力为主，所以某种程度上采用坐标轴的正应力（s11等）或最大主应力等都可以近似代替。后面我们会讲到一些弯曲应力的近似提取的文献。对于齿轮而言，弯曲强度是除了接触强度必须校核的重要指标。因此早在一百多年前Lewis悬臂梁理论就成功应用在齿轮弯曲强度校核上。当然，现在看此理论也有许多不足。比如将轮齿看做悬臂梁是否稳妥还有待商榷，Lewis也没有考虑径向力及应力集中、速度等因素对弯曲应力的影响。尽管如此，悬臂梁理论仍然是目前几乎所有的齿轮弯曲强度评价理论的基础（如ISO，AGMA等），只不过它们添加了一些更与事实接近的修正因数而已。随着有限元在齿轮强度校核方面的成功应用，如何将有限元结果与强度校核公式及应变测量结果作对比，成为了目前突出的问题。为什么关注齿根弯曲应力？在工程实际中经常遇到齿根断裂等故障，这是由于齿轮在受载啮合时，齿根部位受到较大的弯曲应力，在循环载荷下产生疲劳裂纹，最终引起轮齿折断破坏。由于齿向载荷分布的不均，更进一步加重了这种疲劳的可能性。有关弯曲应力或轮齿的抗断裂强度的计算，主要是用在转速很低、间断性工作、需传递大的扭矩以及受冲击载荷的齿轮上，对于齿数最少的齿轮更应该加以考虑。弯曲强度理论如果将齿轮看做受载的悬臂梁，根据一百多年前的Lewis悬臂梁理论，可以得到简略的齿轮弯曲应力计算公式。1992年Motte又进一步修正了Lewis理论。内切抛物线法的悬臂梁理论有很多假设目前看来都很不理想，如其未考虑径向力及应力集中的影响，未考虑齿向载荷分布不均影响等。而且本质上为材料力学中所谓的悬臂梁是指剖面尺寸相对于梁的长度小得多的情况，而齿高相对于轮齿剖面来说却很短，齿轮体也未必绝对刚性，因而把轮齿这样一个“短”梁看作悬臂梁，用材料力学的弯曲理论来计算就不精确。随着有限元法及有限元商业软件的迅速普及，通过有限元软件可以得到更为精准的应力分布，更适合用于强度评价等。有限元法不仅为齿根应力的分析提供一种方法，而且还可以根据有限元的结果反过来修正应力集中系数值，也可以和优化方法结合，进行齿根过渡曲线圆角半径的优化设计，寻求对轮齿弯曲强度最有利的过渡曲线的圆角半径值，从而进一步分析不同的啮合齿形，不同的齿根过渡曲线圆角半径齿形的齿根应力，得到适合于各种具体场合的优化齿形。另一方面，通过有限元精确计算轮齿的变形和齿根应力，可以进一步优化齿轮齿形和齿廓以及齿轮参数，还可根据齿轮的弯曲强度、接触强度、断裂强度和磨损强度，通过有限元法全面优化齿轮结构；齿形和齿廓；材料和工艺，设计出可靠性能好、寿命长的齿轮传动。根据悬臂梁理论，确定危险截面和载荷作用点时，将轮齿视为宽度为b的悬臂梁，受载荷后齿根处产生的弯曲应力最大。危险截面用30°切线法确定，作与轮齿对称中线成30°角并与齿根过渡圆角相切的切线，通过两切点作平行于轴线的截面即为危险截面。而在轮齿啮合过程中，载荷作用点是不断变化的。当啮合点处于齿顶时，虽然齿根处的弯曲力臂最大，但此时轮齿是两对齿或更多对齿啮合，所以载荷并不是最大。使齿根产生最大弯矩的作用点应是单对齿啮合区的上界点D。切向分力使齿根产生弯曲应力和剪应力，径向分力产生压应力。弯曲应力起主要作用，其余的影响很小。疲劳裂纹首先在受拉侧产生，因此齿根弯曲疲劳强度计算以受拉侧为计算依据。 齿根弯曲应力计算公式表明正应力（受拉为正，受压为负）不仅仅与弯矩M有关，还与截面形状及尺寸有关。细长梁的控制因素通常是弯曲正应力，满足弯曲正应力强度条件的梁一般说都能满足剪应力的强度条件（当然一些特殊情形除外，如梁的跨度较短，或在支座处有大的载荷，以致梁的弯矩较小，而剪力颇大）。提高弯曲强度，第一合理布置支座及载荷以减小弯矩，第二合理布置截面形状以增大抗弯截面系数，这也是为什么工字钢比矩形截面钢经济合理的原因。尽管由于径向分力作用使得弯曲受压时应力要大于受拉侧应力，然而由于受拉极限比受压极限要小得多，因此通常仅需校核受拉侧。应变片测量弯曲拉压应力时也可只布置受拉侧。 有限元结果的弯曲应力提取这里才到了大家目前最关注也是最头疼的地方。首先，要确定危险截面，继而确定哪个方向上的正应力是我们所关心的弯曲应力。很不幸这里还是要回到Lewis悬臂梁理论，因为它给出了危险截面，即通过AB线垂直于纸面的面。这样便得到了所需的弯曲正应力方向为如图所示黑线方向。 因此，如果有限元的坐标系选取合适（将黑线方向作为一个坐标轴），我们便可以很轻松提取到弯曲正应力。对于齿轮建议构建圆柱坐标系，这样合理布置坐标系后提取S11与S22即分别为弯曲正应力（bending tensile stress）与弯曲剪应力（bending shear stress），当然我们并不如此关心弯曲剪应力。这样便可以将结果与强度校核公式对比。无数的有限元计算齿轮弯曲强度的文献中统统略过了其具体的提取过程。有的简单的给出了等效应力图，有的给出了最大主应力图。举两个例子。2002年Chen和Tsay提到，“Generally, the bending stresses in the fillets of the two contacting tooth sides are considered tensile stresses, and those in the fillets of the opposite, unloaded tooth side, are considered compressive stresses. Figs. 7(a) and (b) depict the tensile and compressive bending stresses along the pinion’s fillet for the four contact positions. The bending stress is the average of von-Mises stresses at the eight integration points of the fifth element counted from the dedendum.”。从齿根处数第五个单元的八个节点的等效应力平均值作为弯曲应力（图中横坐标z为齿向）。得出结论，最大弯曲应力发生在齿宽方向的中面的接触点下方。两个弯曲应力较大的啮合部位一个是靠近齿根处啮合（应力集中导致大弯曲应力），另一个是靠近齿顶处啮合（弯矩大）。 2010年Tesfahunegn明确提到，“The bending stress is obtained from ABAQUS output database, extracting the history of the element in the root fillet region that reaches the maximum positive value of the maximum principal stress during the meshing cycle" 。因此总的原则是，如果可以合理选取坐标系直接得到危险截面的弯曲正应力最好。如果实在不便调整坐标系，采用最大主应力与坐标轴正应力代替均也无可厚非。因为实质上，弯曲校核公式本身就不准确，贴片法测量弯曲应力也不可能测得准确的弯曲正应力（其一般为单向拉伸应力测试）。试验验证可以通过应变片测试法来得到齿根部位的弯曲应力。当然布点方式也很有技巧性。直齿轮齿根承受一个水平面弯曲正应力和垂直切应力，两个应力都垂直与齿向；而斜齿轮齿根除承受与直齿轮相同方向的两个应力外，还承受一个铅垂面内的平行于齿向的切应力，但这个铅垂面内的切应力并不大。一般情况下，可以用直齿轮的疲劳试验结果做参考进行斜齿轮的疲劳强度设计。由于疲劳断裂主要是由于弯曲正应力引起，因此除一些特殊情况外可以只校核弯曲正应力。鉴于此，通过贴片测量单向应力（弯曲正应力）用于评价弯曲强度从某种程度上是适合的。至少在齿根两个端部、中部3个地方贴应变片，这样可以观察弯曲应力沿齿向的变动情况。如果重合度大于1，要在相邻两个齿或三个齿上布片。进行疲劳试验，正是通过这种方式进而得到S-N曲线。配合有限元验证效果最好。 W. Lewis, "Investigation of the Strength of Gear Teeth," in Proceedings of Engineers Club, Philadelphia, 1892. 赖惠芬 and 朱学军, "齿根过渡圆角处应力的分析计算," 机械, vol. 30, pp. 28-30, 2003. 刘鸿文, 材料力学: 高等教育出版社, 1982. Z. Li, "Spur gear teeth contact analysis on power-train transmission noise, vibration and harshness," PhD thesis, School of Engineering, University of Warwick, Coventry, 2009. C. Zanzi and J. I. Pedrero, "Application of modified geometry of face gear drive,"Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 194, pp. 3047-3066, 2005. A. Patil, "Analysis of Bending Stress at Root of the Spur Gear by Finite Element Method," http://www.scribd.com/doc/19828442/Analysis-of-Bending-Stress-at-Root-of-the-Spur-Gear-by-Finite-Element-Method. E. Conrado and P. Davoli, "The 'true' bending stress in spur gears "GEARTECHNOLOGY, pp. 52-57, 2007. R. F. Handschuh and G. D. 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