[转帖]多孔算法的实践与思考
小波的问题在那里？其中之一，平移不变性。说白了，先将源信号平移n位，再做小波变换，和先将源信号做小波变换，再平移n位，结果不同。这对于实时处理和一些场合是极为不便的。（gibbs效应于此也有关）。<br> 怎么办？多孔算法（a trous）可以解决此瓶颈。多孔算法，又称非抽取小波变换，即undecimated wavelet transform or nonsampled wavelet transform，简写(NSWT)。（有可能二进小波变换也是一个意思）。<br> 实现多孔算法，需要什么呢？回答MALLAT算法是基础。若你不懂MALLAT，请去学习，或看我置顶的贴子。我可以告诉大家，我写TROUS代码从看论文到完成只用了10分钟。<br> 但单单MALLAT算法够吗？答案否定的。我们必须找到两种算法的不同点。方可得心应手。这里我浅谈一二。<br> 首先，为什么MALLAT不具有移不变特点而TROUS具有移不变特点。根源就在抽取插值上。看这个系统Y(N)=X(2N)，它是不是移不变系统，显然不是。现在大家明白了吧。所以非抽取算法，是移不变的。而这个移不变所付出的代价，就是高频分量加低频分量长度再不是源信号的长度，而是源信号长度的2倍。<br> 其次，滤波器还是可以用，WFILTERS()。而且重构和分解滤波器的关系，还是逆序后再右移一位（圆周卷积+周期延托）。但所有的滤波器系数要乘以SQRT(2)/2。为什么，答案在PR条件上。MALLET算法PR条件有两个，一个是抗混叠，另一个是完全重构。而多孔算法由于非插值抽取，只有完全重构，且等式的右边常数是“1”，而不是MALLET-PR条件的“2”。所以MALLET的PR条件要乘以“1/2”才和TROUS一致，而这个因子“1/2”正好被分配到两个滤波器上，所以是SQRT(2)/2。<br> 再次，在每一层的下一层，滤波器中间要插值0。为什么？从谱上看，这是小波最经典的物理意义。数字信号一个周期的频谱范围为[-PI PI]，MALLAT算法的低通滤波[-PI/2 PI/2]，高通滤波[-PI -PI/2] U ，则滤波后低频分量频谱范围[-PI/2 PI/2]。这时注意“开始抽取，频谱展宽”，又回到源信号频谱[-PI PI]，然后再低通、高通滤波，周而复始。（小波包的问题顺便也说一下，实际上将高频抽取，频谱展宽后，发生了频谱颠倒现象，论坛里对此有精彩讨论，对此不再赘述。）而多孔呢？情况变了。低频分量始终是[-PI/2 PI/2]，若低通滤波器仍是[-PI/2 PI/2]，高通滤波器[-PI -PI/2] U ，岂不是有些可笑吗？于是“滤波器插值”极其精妙的登场。低通和高通滤波器频谱变窄，低通[-PI/4 PI/4]，高通[-PI/2 -PI/4] U ，这下物理概念对了。那多孔有没有小波包呢，留给大家探讨。[此贴子已经被作者于2006-5-23 14:52:11编辑过]
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