lijil168 发表于 2012-6-20 10:04

线性振动系统的几何建模(或者叫张量模型)探讨

本帖最后由 lijil168 于 2012-6-20 14:18 编辑

   对线性振动系统而言,其数学模型一般用线性微分方程组描述,其本质是关于空间(x1,x2,等)与时间t的线性方程组,可看作解析几何的范畴。
   如果将系统当作空间的一个质点,我们要求解的是其在空间中随时间运动的轨迹,及其相关的特性。
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   从质点运动轨迹图可以看出,其在现实时空坐标系(原基)上的投影即是我们看到的系统振动的样子:各模态运动加权叠加;其在主基(系统在其上解耦)上的投影即是系统主振动的样子:绕主轴做简谐运动;其在空间坐标系的投影被包络在与主轴对称的平行四边形内。从原基到主基的过渡矩阵(或者叫方向余弦阵)即为主振型矩阵,其每列为相应主模态的向量,等于相应的主轴在原基下的坐标列向量。
    从几何角度建模和分析很有意思。以下是我的思路:
    建立现实时空坐标系Er(原基),位移X=;加速度X''=;质量M=;刚度K=;外力F=;则力平衡方程为:MX''+KX=F。
    设系统主基为Ep,主基的对偶基为En,模态矩阵为Ф,将位移与加速度映射到Ep中:Xp=Ф-1X;Xp''=Ф-1X'';力映射到En中:Fn=ФTF;质量为Ep中的加速度到En中的力的线性变换张量,其坐标值为:Mnp=ФTMФ;刚度为Ep中的位移到En中的力的线性变换张量,其坐标值为:Knp=ФTKФ。力平衡方程仍然成立:MnpXp''+KnpXp=Fn。
    由于Mnp和Knp为对角阵,系统解耦。
    由矩阵运算可证明上述原理,ФTMФФ-1X'''+ФTKФФ-1X=ФTF;也可由张量运算证明。

注:力在Ep上的垂直投影即得到力在En上的坐标值,位移和加速度在Ep上的平行投影即得到其在Ep上的坐标值。至于为什么将力和位移分别分解到一对对偶坐标系上,我想,只有这样分解,才能在运算时既满足矢量的三角形运算法则,又满足能量守恒定律。

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实例:对整车二自由度振动分析
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系统运动轨迹图见第一副图,主模态和振动的关系见下图
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可见,原基到主基的过渡矩阵即为模态矩阵,系统在主基上做主振动,在原基上做各模态的加权耦合振动,各模态的权重由系统的初始条件有关,或者说与系统的初始能量分布有关。系统以振型对能量进行调节,能量偏多则减,少则补,有些杀富济贫的感觉。当系统的初始能量分布正好在某一振型上时,系统以该模态频率做简谐振动,能量不做调节。如下图所示:
http://lijil168.web-69.com/uploads/allimg/111122/1_111122223511_1.jpg

总之,我感觉系统似乎以主模态振型作为能量调节的基准,当能量不均时,各自由度的能量发生争夺而震荡,但各模态的能量不变,能量流动只在同一模态的不同自由度之间发生,而系统总企图向其最近的某一模态靠近。
个人体会,欢迎大家批评指正。



王城雅苑 发表于 2012-6-21 08:12

看不太懂,但帮顶

lijil168 发表于 2012-6-22 16:05

本帖最后由 lijil168 于 2012-6-22 18:37 编辑

谢谢帮顶。我也是被模态及解耦的真正含义搞得头晕,花了很长时间去理解,最后想到从几何学的角度对其含义进行分析最为直观,而且希望这样可以认识到振动的现象及本质。不过这样的描述没见过,自己也不太好描述。下面对简单的2自由度系统的几何建模进行详细介绍,希望取到抛砖引玉的作用。
对无阻尼系统,其平衡方程很简单:MX''+KX=F,一般书上都是以矩阵运算进行解释,而没有揭示其表达式的本质。实际上本方程的本质应该是矢量方程,而矩阵不过是对矢量(也有张量)问题进进行坐标运算而已。
如果要明白矢量方程,需要理解张量的概念,因为M和K实际是张量,X''、X和F都是矢量,MX''和KX从物理上说都是力矢量,自然MX''+KX=F为力平衡方程。
如果不明白张量的概念的话,明白线性变换的概念,也可以理解MX''+KX=F的意思,M和K可以认为是线性变换矩阵,MX''将加速度矢量X''变换为惯性力矢量,KX将位移矢量X变换为弹性恢复力矢量。
从上述描述可看出,振动模型可用矢量几何方程来建立。对前面的汽车2自由度模型,前悬位移为x1,后悬位移为x2,则位移矢量为X=;对自由振动,力平衡方程为:MX''+KX=0,M和K可由影响系数法得到(可体会到张量的意义),也可由力平衡方程组变形得到,注意:x1,x2,K,M都是在同一个正交坐标系中度量。

几何模型的坐标系Er(原基)见上图:x1Ox2为空间平面,Ot为时间坐标轴。矢量X(t)为系统在时空坐标系中的位置,X1(t)为矢量X(t)在x1Ot平面的投影,X2(t)为矢量X(t)在x2Ot平面的投影。X(t)的轨迹为系统在Er中的运动轨迹,为图中绕时间轴旋转的黑线;X1(t)的轨迹为前悬的纵向运动轨迹,为图中波动的蓝线;X2(t)的轨迹为后悬的纵向运动轨迹,为图中波动的绿线。

对MX''+KX=0,X''=-M\K X。-M\K为非对角阵,系统不解耦。根据线性变换,可找到合适的新的坐标系,使变换矩阵-M\K成为对角阵,此坐标系为主基,见上图x1pOx2p,对-M\K进行特征值变换得到的特征矩阵就是原基到主基的过渡矩阵,也就是振型矩阵,振型矢量就构成主基的两坐标轴Ox1p和Ox2p,而特征值就是系统固有频率的平方。
从上图还可以看出,主轴(主基的坐标轴)为轨迹在空间面上投影——平行四边形的对称线,可以推测,系统的主轴与系统占据空间的惯性主轴是一致的。
轨迹在主轴与时间轴平面上投影就是系统的主振动,为各阶模态频率简谐振动,旋转上图就可见到主振动的样子,如下图


。。。

程瑞岩 发表于 2012-7-4 10:22

真的是看不懂啊。

lijil168 发表于 2012-7-8 00:15

本帖最后由 lijil168 于 2012-7-8 00:44 编辑

lijil168.web-69.com/a/biancheng/matlab/2011/1113/584.html
没权限发超链接,请到地址栏打开,这是我做的实例,用matlab编的。
确实有些难于理解,不过我觉得理解后对系统解耦及系统建模问题的理解会有大的作用。
我们做的数学模型应该是对物理现象的客观描述,数学模型的性质应该和物理现象的性质一一对应!对动力学问题而言,研究的是力,位移及速度、加速度的关系,本质是矢量问题。
唉,什么时候才能找到能理解的呢?我在对2自由度系统能量流动情况进行试探时发现,当只向一自由度输入初始能量时,能量会向另一自由度(初始能量为0)流动,但是当改变能量的输入方向时,能量流动的比例不变,也就是说,假如给x1=1,x2=0,最多有40%的能量会传到x2的话;假如给x2=1,x1=0,也最多会有40%的能量会传到x1,想了很久也没想清楚它的物理原因。

SandVNo2 发表于 2012-7-9 02:07

本帖最后由 SandVNo2 于 2012-7-8 12:07 编辑

很普通的多自由度(或称多质量)系统,让你所谓的“几何建模”搞得如此“高深”。你要么是“大家”,要么是走火入魔

lijil168 发表于 2012-7-11 13:48

本帖最后由 lijil168 于 2012-7-11 13:57 编辑

确实是最简单的二自由度系统,我是初学者,自觉是走火入魔了,让您见笑了。也希望没有误导别人。
能否帮我解释一下,在解耦时,为什么对位移X用Ф-1X进行变换, 对力F却用Ф’F进行变换,对M和K用Ф’MФ和Ф’KФ 进行变换?{:{13}:}

程瑞岩 发表于 2012-7-17 10:41

真心没有看懂的。

memewoshi 发表于 2012-7-17 16:30

{:{39}:}

memewoshi 发表于 2012-7-17 16:32

这个问题根本不是个问题,解耦就是把原来耦合的几何关系等等,通过坐标变换,变换到另一个空间中。在此空间中,自由度之间是没关系的。为了研究的方便

lijil168 发表于 2012-7-18 12:41

回复 10 # memewoshi 的帖子

很正确。可是为什么要把位移和力分别变换到不同的空间呢?对位移变换用的是振型矩阵的逆矩阵,而对力变换用的是振型矩阵的转置矩阵。

lijil168 发表于 2012-7-18 13:15

本帖最后由 lijil168 于 2012-7-18 13:17 编辑

回复 8 # 程瑞岩 的帖子

http://lijil168.web-69.com/a/biancheng/matlab/2011/1113/584.html
谢谢关注。网上有例子和matlab编的源程序,有兴趣可以试试。
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