通向混沌的主要道路
人们不仅可以根据混沌系统的定性和定量特性来考察系统是否具有混沌行为，而且也可以从实验和理论两个方面来研究非线性系统中控制参数改变时吸引子的变化途径。1981年，Eckmann 归纳了三种通向混沌的主要途径：（1）倍周期分岔通向混沌（Feigenbaum途径）
一种规则的运动状态（如某种定态解或者周期解）可以通过周期不断加倍的倍分岔方式逐步过度到混沌运动状态。
（2）阵发性通向混沌（Pomeau-Manneville途径）
一种规则的运动状态通过有时规则有时混乱的间歇（阵法）状态转变为混沌运动状态。
（3）Hopf 分岔通向混沌（Ruelle-Takens-Newhouse 途径）
一种规则的运动状态最多经过3次Hopf分岔就能够转变为混沌运动状态。 阵发性通向混沌?这是什么意思？没看懂啊 阵发性混沌现象
1979年，法国数学家玻木(Pomeau)和曼维尔(Manneville)在计算洛论兹方程的y分量时发现了一种异常现象。洛论兹方程的y分量比例于上流与下流液体之间的温差，在定常对流状态下y分量作规则周期变化。玻木和曼维尔的计算发现，当瑞利参数r在到达临界值rc附近时y分量的周期性变化被一种随机的、突发性的冲击所打断。他们取参数b＝8/3，s＝10，此时的临界值rc＝166.07,计算了rc附近的四个参数，一个r＜rc，三个rc＜r。计算结果发现当r低于rc时，系统处于长时间的周期运动状态；当参数r刚超过阈值rc时，开始偶尔出现一些突发性的冲击；随着r数值的逐渐增长，这种突发性冲击越来越频繁地出现，最后周期运动将几乎完全消失，于是系统进入完全随机的运动状态。
此后不久，玻木和曼维尔又在平方映射的计算中发现了与洛论兹方程的突发性冲击相类似的现象。这次是在平方映射参数mu=3.85附近的计算中发现，图3-6是平方映射的mu=3.85的时间序列。总结两次发现的突发性冲击现象，他们将动力学系统经过这种现象进入随机的不规则的运动状态称为阵发性混沌(Intermittent chaos)。实际上，在自然界中、科学实验中乃至社会经济生活中，此类似的突发性的不规则现象是经常可以遇到的，例如：太阳黑子的出现，野生动物数量的涨落，电子或激光振荡中的冲击现象，电子等离子体放电与化学反应中无不处处见到这样的不规则现象，社会经济生活的明显例子是股市的涨落，这些都可以看作为不同领域中的阵发性混沌。
学习了，谢谢
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